Нужный ход действий указан прямо в условии. Нам нужно для произвольного $\epsilon >0$ подобрать такое натуральное $N$, чтобы для любого $n>N$ выполнялось следующее неравенство:

$$|x_n|<\epsilon$$

Пункт а)

$$\left|x_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right|<\epsilon$$

Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П-ссылка):

$$\left|\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right|=\frac{|(-1{)}^{n+1}|=|-1||-1|\dots =1}{n}=\frac{1}{n}$$

Итак, изначальное неравенство сводится к следующему:

$$\frac{1}{n}<\epsilon \iff n>\frac{1}{\epsilon }$$

Какое бы $\epsilon >0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее $\frac{1}{\epsilon }$ и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$$

По этой формуле мы получаем округление сверху («потолок») числа $\frac{1}{\epsilon }$. Из определения «потолка» числа:

$$\frac{1}{\epsilon }\le \lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$$

Так как в условии у нас $n>N(\epsilon )$, то следующее натуральное число после $N(\epsilon )$ будет $N(\epsilon )+1$:

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil \ge \frac{1}{\epsilon }$$

$$n>\frac{1}{\epsilon }$$

Итак, мы показали, что любые натуральные $n>N(\epsilon )$ удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.

Начнем заполнять таблицу:

$$N(0.1)=\lceil \frac{1}{0.1}\rceil =\lceil 1\rceil =10$$

$$N(0.001)=\lceil \frac{1}{0.001}\rceil =\lceil 1000\rceil =1000$$

$$N(0.0001)=\lceil \frac{1}{0.0001}\rceil =\lceil 10000\rceil =10000$$

Итоговая таблица:

$$\begin{array}{ccccc}\epsilon & 0.1& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& 10& 1000& 10000& \end{array}$$

Пункт б)

$$\left|x_n=\frac{2n}{n^3+1}\right|<\epsilon$$

Модуль можно сразу снять, так как под модулем всегда положительное число:

$$x_n=\frac{2n}{n^3+1}<\epsilon$$

Докажем следующее неравенство:

$$\frac{2n}{n^3+1}\stackrel{\text{?}}{\le }\frac{2n+2}{n^2+2n+1}$$

Знаменатель левой части представим в виде $n^3+1^3$ и по формуле суммы кубов. В числителе правой части вынесем $2$ за скобки и сократим на $n+1$:

$$\frac{2n}{(n+1)(n^2-n+1)}\stackrel{\text{?}}{\le }\frac{2(n+1)}{(n+1{)}^2}=\frac{2}{n+1}$$

Сократим на $2$ и домножим на $n+1$:

$$\frac{n}{n^2-n+1}\stackrel{\text{?}}{\le }1$$

$$0\stackrel{\text{?}}{\le }{n}^2-2n+1=(n-1{)}^2$$

Очевидно, что для любого натурального $n$:

$$0\le (n-1{)}^2$$

Итак, мы доказали, что для любого натурального $n$:

$$\frac{2n}{n^3+1}\le \frac{2n+2}{n^2+2n+1}=\frac{2}{n+1}$$

Если мы найдем $N$ такое, что для любого $n>N$:

$$\frac{2}{n+1}<\epsilon ,$$

то автоматом (по доказанному выше неравенству) будет верно и

$$\frac{2n}{n^3+1}\le \frac{2}{n+1}<\epsilon$$

Итак, выразим $n$ из неравенства:

$$\frac{2}{n+1}<\epsilon$$

$$n>\frac{2-\epsilon }{\epsilon }$$

Какое бы $\epsilon >0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее $\frac{2-\epsilon }{\epsilon }$ и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{2-\epsilon }{\epsilon }\rceil$$

Проверка того, что любое натуральное $n>N(\epsilon )$ действительно будет удовлетворять неравенству в условии выполняется так же, как в пункте а).

Начнем заполнять таблицу:

$$N(0.1)=\lceil \frac{2-0.1}{0.1}\rceil =\lceil \frac{1.9}{0.1}\rceil =19$$

$$N(0.001)=\lceil \frac{2-0.001}{0.001}\rceil =\lceil \frac{1.999}{0.001}\rceil =1999$$

$$N(0.0001)=\lceil \frac{2-0.0001}{0.0001}\rceil =\lceil \frac{1.9999}{0.0001}\rceil =19999$$

Итоговая таблица:

$$\begin{array}{ccccc}\epsilon & 0.1& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& 19& 1999& 19999& \end{array}$$

Пункт в)

$$\left|x_n=\frac{1}{n!}\right|<\epsilon$$

Докажем следующее неравенство:

$$\frac{1}{n!}\stackrel{\text{?}}{\le }\frac{1}{n}$$

Обе части умножаем на $n!\cdot n$:

$$n\stackrel{\text{?}}{\le }n!$$

Если $n=1$, то получаем равенство.

Делим обе части на $n$:

$$1\stackrel{\text{?}}{\le }(n-1)!$$

Если $n>1$, то при $n=2$ снова получаем равенство, а далее $(n-1)!$ будет строго больше $1$.

Итак, мы показали, что:

$$\frac{1}{n!}\le \frac{1}{n}$$

Если мы найдем $N$ такое, что для любого $n>N$:

$$\frac{1}{n}<\epsilon ,$$

то автоматом (по доказанному выше неравенству) будет верно и

$$\frac{1}{n!}\le \frac{1}{n}<\epsilon$$

Но случай $\frac{1}{n}<\epsilon$ уже рассматривался в пункте а).

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$$

Таблица, соответственно, такая же.

Пункт г)

$$\left|x_n=(-1{)}^n\cdot 0.999^n\right|<\epsilon$$

Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П-ссылка):

$$\left|(-1{)}^n\cdot 0.999^n\right|=|(-1{)}^n|\cdot 0.999^n$$

Левый множитель можно разложить по тому же свойству: $|(-1{)}^n|=|-1||-1|\dots =1$:

$$\left|(-1{)}^n\right|\cdot 0.999^n=0.999^n$$

Значит, неравенство в условии превращается в такое:

$$0.999^n<\epsilon$$

Прологарифмируем это неравенство по основанию $0.999$:

$$n>{\log }_{0.999}\epsilon$$

Какое бы $\epsilon >0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее ${\log }_{0.999}\epsilon$ и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \left|{\log }_{0.999}\epsilon \right|\rceil$$

По этой формуле мы получаем округление сверху («потолок») числа $\left|{\log }_{0.999}\epsilon \right|$. Из определения «потолка» числа:

$$\left|{\log }_{0.999}\epsilon \right|\le \lceil \left|{\log }_{0.999}\epsilon \right|\rceil$$

Так как в условии у нас $n>N(\epsilon )$, то следующее натуральное число после $N(\epsilon )$ будет $N(\epsilon )+1$:

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \left|{\log }_{0.999}\epsilon \right|\rceil \ge \left|{\log }_{0.999}\epsilon \right|\ge {\log }_{0.999}\epsilon$$

$$n>{\log }_{0.999}\epsilon$$

Итак, мы показали, что любые натуральные $n>N(\epsilon )$ удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.

Начнем заполнять таблицу:

$$N(0.1)=\lceil \left|{\log }_{0.999}0.1\right|\rceil =\lceil |2301.43\dots |\rceil =2302$$

$$N(0.001)=\lceil \left|{\log }_{0.999}0.001\right|\rceil =\lceil |6904.3\dots |\rceil =6905$$

$$N(0.0001)=\lceil \left|{\log }_{0.999}0.0001\right|\rceil =\lceil |9205.7\dots |\rceil =9206$$

Итоговая таблица:

$$\begin{array}{ccccc}\epsilon & 0.1& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& 2302& 6905& 9206& \end{array}$$