Теорема Штольца

Доказать теорему Штольца, если

$$\begin{array}{rl}& \text{а) }{y}_{n+1}>y_n(n=1,2,\dots );\text{б) }\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=+\infty ,\\ & \text{в) существует }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n},\end{array}$$

то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$$

Найти:

$$\text{а) }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{a^n}(a>1);\text{б) }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\lg n}{n}$$

Доказать, что если $p$ — натуральное число, то:

$$\begin{gathered} \text{а) }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+2^p+\dots +n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}; \\ \text{б) }\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1^p+2^p+\dots +n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}\right)=\frac{1}{2}; \\ \text{в) }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+3^p+\dots +(2n-1{)}^p}{n^{p+1}}=\frac{2^p}{p+1} \end{gathered}$$