Задача 143 — Демидович

$а) y_{n + 1} > y_{n} (n = 1, 2, \dots); б) n \to \infty lim y_{n} = + \infty, в) существует n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}},$

то

$n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}}$

Петр Радько

Решение

Лемма о медианных дробях

Пусть даны две дроби

$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}, (b, d > 0)$

Тогда

$\frac{a}{b} \leq \frac{a + c}{b + d} \leq \frac{c}{d}$

Доказательство

Нам дано, что

$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$

Умножим обе части неравенства на $b d$ :

$a d \leq c b$

Теперь докажем требуемое неравенство:

$\frac{a}{b} \leq \frac{a + c}{b + d} \leq \frac{c}{d}$

Доказательство левой части

$\frac{a}{b} \leq \frac{a + c}{b + d}$

Умножим обе части неравенства на $b (b + d)$ :

$ab + a d \leq ab + b c$

Вычтем из обеих частей $ab$ :

$a d \leq c b$

Как мы показали выше, это неравенство выполняется.

$■$

Доказательство правой части

$\frac{a + c}{b + d} \leq \frac{c}{d}$

Умножим обе части неравенства на $(b + d) d$ :

$a d + c d \leq c b + c d$

Вычтем из обеих частей $c d$ :

$a d \leq c b$

Как мы показали выше, это неравенство выполняется.

$■$

меется также важное следствие. Если

$\frac{a _{1}}{b _{1}} \leq \frac{a _{2}}{b _{2}} \leq \dots \leq \frac{a _{n}}{b _{n}}$

при $b_{i} > 0$ , то

$\frac{a _{1}}{b _{1}} \leq \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{b _{1} + b _{2} + \dots + b _{n}} \leq \frac{a _{n}}{b _{n}}$

Доказывается оно элементарно поочередным применением самой леммы.

Вспомогательное неравенство

Из условия известно, что

$n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} = A$

Распишем это по определению:

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ ∣ \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} - A ∣ ∣ < ε$

Возьмем какое-нибудь произвольное $ε^{'} > 0$ . Раз определение выше выполняется для любого положительного числа, то и для положительного $\frac{ε ^{'}}{2}$ существует такое $N$ , что для любого $n > N$ выполняется неравенство

$∣ ∣ \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} - A ∣ ∣ < \frac{ε ^{'}}{2}$

Раскроем это неравенство в цепоное по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

$- \frac{ε ^{'}}{2} < \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} - A < \frac{ε ^{'}}{2}$

Прибавим ко всем частям неравенства $A$ :

$A - \frac{ε ^{'}}{2} < \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} < A + \frac{ε ^{'}}{2}$

Примем теперь за $N = N + 1$ , чтобы мы неравенство выше выполнялось для любых $n \geq N$ . Итак, неравенство выше выполняется для следующих дробей:

$\frac{x _{N + 1} - x _{N}}{y _{N + 1} - y _{N}} \frac{x _{N + 2} - x _{N + 1}}{y _{N + 2} - y _{N + 1}} \dots \frac{x _{n} - x _{n - 1}}{y _{n} - y _{n - 1}}$

Расположим все эти дроби в порядке возрастания и применим к ним следствие из доказанной выше леммы о медианных дробях:

$A - \frac{ε ^{'}}{2} < \frac{x _{N + 1} - x _{N} + x _{N + 2} - x _{N + 1} + \dots + x _{n} - x _{n - 1}}{y _{N + 1} - y _{N} + y _{N + 2} - y _{N + 1} + \dots + y _{n} - y _{n - 1}} < A + \frac{ε ^{'}}{2}$

$A - \frac{ε ^{'}}{2} < \frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} < A + \frac{ε ^{'}}{2}$

Вычтем из всех частей неравенства $A$ :

$- \frac{ε ^{'}}{2} < \frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A < \frac{ε ^{'}}{2}$

Воспользуемся пунктом 1 прото-задачи П-ссылка в обратную сторону и получаем важное вспомогательное неравенство, которое потребуется далее:

$∣ ∣ \frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A ∣ ∣ < \frac{ε ^{'}}{2}$

Сходимость $\frac{x _{n}}{y _{n}}$

Теперь попробуем представить само выражение внутри модуля неравенства выше в другом виде:

$\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A = (\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A) (\frac{y _{n} - y _{N}}{y _{n} - y _{N}}) = = \frac{x _{n} - x _{N} - A y _{n} + A y _{N}}{y _{n} - y _{N}} = \frac{y _{n}}{y _{n} - y _{N}} (\frac{x _{n}}{y _{n}} - A + \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}})$

Итак,

$\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A = \frac{y _{n}}{y _{n} - y _{N}} (\frac{x _{n}}{y _{n}} - A + \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}})$

Начем изолировать выражение $\frac{x _{n}}{y _{n}} - A$ справа:

$(\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A) (\frac{y _{n} - y _{N}}{y _{n}}) = \frac{x _{n}}{y _{n}} - A + \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}}$

$(\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A) (1 - \frac{y _{N}}{y _{n}}) = \frac{x _{n}}{y _{n}} - A + \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}}$

$(\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A) (1 - \frac{y _{N}}{y _{n}}) - \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} = \frac{x _{n}}{y _{n}} - A$

Рассмотрим теперь следующее выражение:

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ = ∣ ∣ (\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A) (1 - \frac{y _{N}}{y _{n}}) - \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ = ∣ ∣ (\frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A) (1 - \frac{y _{N}}{y _{n}}) - \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣ \leq \leq ∣ ∣ \frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A ∣ ∣ \leq 1 ∣ ∣ 1 - \frac{y _{N}}{y _{n}} ∣ ∣ + ∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣ \leq \leq ∣ ∣ \frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A ∣ ∣ + ∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣$

Итак,

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ \leq \leq \frac{ε ^{'}}{2} ∣ ∣ \frac{x _{n} - x _{N}}{y _{n} - y _{N}} - A ∣ ∣ + ∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣$

Поэтому

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ \leq \frac{ε ^{'}}{2} + ∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣$

Осталось только разобраться с

$∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣$

Внутри модуля находится последовательность

$\frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}},$

которая стремится к $0$ с учетом того, что в числителе находится константа:

$n \to \infty lim \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} = (A y_{N} - x_{N}) n \to \infty lim \frac{1}{y _{n}} = 0$

Мы воспользовались тем фактом, что если $y_{n} \to + \infty$ , то $\frac{1}{y _{n}} \to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Распишем по определению, что значит стремление к $0$ у последовательности выше:

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣ < ε$

Раз выполняется для любого положительного $ε$ , то и для положительного $\frac{ε ^{'}}{2}$ найдется такое $N^{'}$ , что для любого $n > N^{'}$ будет выполняться неравенство

$∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣ < \frac{ε ^{'}}{2}$

Возвращаемся к $∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣$ :

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ \leq \frac{ε ^{'}}{2} + < \frac{ε ^{'}}{2} ∣ ∣ \frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} ∣ ∣$

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ \leq \frac{ε ^{'}}{2} + \frac{ε ^{'}}{2}$

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ \leq ε^{'}$

Стоит отметить, что здесь речь идет уже о $n > max (N, N^{'})$ , чтобы одновременно выполнялись выведенное выше вспомогательное неравенство и неравенство из $\frac{A y _{N} - x _{N}}{y _{n}} \to 0$ .

Мы показали, что какое $ε > 0$ ни возьми, всегда найдется такие $N$ и $N^{'}$ , что для любого $n > max (N, N^{'})$ будет выполняться неравенство

$∣ ∣ \frac{x _{n}}{y _{n}} - A ∣ ∣ \leq ε^{'}$

Это по определению означает, что

$n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = A = n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}}$

$n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}}$

$■$

Зависимости

Свойства модуля

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

Связь б.м. и б.б. последовательностей

Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.

142 144

Лемма о медианных дробях

Вспомогательное неравенство

Сходимость yn​xn​​

Сходимость $\frac{x _{n}}{y _{n}}$