Способы задания функций и их графики

В треугольник $ABC$ (см. рисунок), основание которого $AC=b$ и высота $BD=h$, вписан прямоугольник $KLMN$, высота которого $NM=x$. Выразить периметр $P$ прямоугольника $KLMN$ и его площадь $S$ как функции от $x$.

Построить графики функций $P=P(x)$ и $S=S(x)$.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB=6\text{ см}$, сторона $AC=8\text{ см}$ и угол $BAC=x$. Выразить $BC=a$ и площадь $S$ треугольника $ABC$ как функции переменной $x$. Построить графики функций $a=a(x)$ и $S=S(x)$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ (см. рисунок), основания которой $AD=a$ и $BC=b$ $(a>b)$, а высота $HB=h$, проведена прямая $MN\parallel HB$ и отстоящая от вершины $A$ на расстоянии $AM=x$. Выразить площадь $S$ фигуры $ABNM$ как функцию переменной $x$. Построить график функции: $S=S(x)$.

На сегменте $0\le x\le 1$ оси $Ox$ равномерно распределена масса, равная $2\text{ г}$, а в точках этой оси $x=2$ и $x=3$ находятся сосредоточенные массы по $1\text{ г}$ в каждой. Составить аналитическое выражение функции $m=m(x)(-\infty <x<+\infty )$, численно равной массе, находящейся в интервале $(-\infty ,x)$, и построить график этой функции.

Функция $y=\mathrm{sgn}x$ определяется следующим образом:

$$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{если }x<0;\\ 0,& \text{если }x=0;\\ 1,& \text{если }x>0.\end{array}$$

Построить график этой функции. Показать, что

$$|x|=x\mathrm{sgn}x.$$

Функция $y=[x]$ (целая часть числа $x$) определяется следующим образом: если $x=n+r$, где $n$ — целое число и $0\le r<1$, то $[x]=n$. Построить график этой функции.

Пусть

$$y=\pi (x)(x⩾0)$$

обозначает число простых чисел, не превышающих числа $x$. Построить график этой функции для значений аргумента $0⩽x⩽20$.