Неравенство синуса, тангенса и аргумента

Острые углы

Рассмотрим тригонометрическую окружность на прямоугольной системе координат. Напомню, что радиус у такой окружности равен $1$. Пусть угол $x$ находится в промежутке $[0,\frac{\pi }{2}]$. На окружности отметим две точки $A$ и $B$, которые образованы пересечением окружности с лучами $OA$ и $OB$, образующими угол $x$.

По определению синуса высота $AH$ равна $\sin x$. Найдем тогда площадь треугольника $OAB$:

$$S_{OAB}=\frac{\sin x}{2}$$

Площадь сектора круга $\widetilde{OAB}$:

$$S_{\widetilde{OAB}}=\frac{x}{2}$$

По определению тангенса высота $TB$ равна $\mathrm{tg}x$. Найдем тогда площадь треугольника $OTB$:

$$S_{OTB}=\frac{\mathrm{tg}x}{2}$$

Теперь замечаем, что треугольник $OAB$ целиком содержится в секторе $\widetilde{OAB}$ круга, а сам этот сектор целиком содержится в треугольнике $OTB$. Поэтому выполняется неравенство:

$$S_{OAB}<S_{\widetilde{OAB}}<S_{OTB}$$

$$\frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathrm{tg}x}{2}$$

Умножаем все части неравенства на $2$ и получаем желаемый результат:

$$\sin x<x<\mathrm{tg}x$$

Не забываем, что при $x=0$ имеем $\mathrm{tg}x=\sin x=x=0$ поэтому:

$$\sin x\le x\le \mathrm{tg}x$$

$■$

Общий случай

Итак, для $x$ в промежутке $[0,\frac{\pi }{2}]$:

$$\sin x\le x$$

В этом промежутке и синус, и $x$ не являются отрицательными числами, поэтому:

$$\sin x=|\sin x|x=|x|$$

Поэтому для рассматриваемого промежутка выполняется:

$$|\sin x|\le |x|$$

Для $x$ в промежутке $[-\frac{\pi }{2},0)$ можно использовать те же рассуждения, что и для острых углов, но с учетом того, что

$$AH=|\sin x|\widetilde{AB}=|x|$$

Итак, для $x$ в промежутке $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ выполняется неравенство:

$$|\sin x|\le |x|$$

Пусть теперь $x$ лежит в промежутке $(-\infty ,-\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},+\infty )$. Этот факт можно выразить следующим выражением:

$$[\begin{array}{l}x>\frac{\pi }{2}\\ x<-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

По прото-задаче П-ссылка выражение сверху можно представить так:

$$[\begin{array}{l}x>\frac{\pi }{2}\\ x<-\frac{\pi }{2}\end{array}\iff |x|>\frac{\pi }{2}$$

Тогда:

$$\begin{gathered} |\sin x|\le 1<\frac{\pi }{2}<|x| \\ |\sin x|<|x| \end{gathered}$$

Итак, мы доказали, что для любого вещественного $x$ выполняется неравенство:

$$|\sin x|\le |x|$$

$■$