Первый замечательный предел

Основное равенство

Из прото-задачи П-ссылка нам известно, что для острых углов $(0,\frac{\pi }{2}]$ выполняется неравенство:

$$\sin x<x<\mathrm{tg}x$$

«Перевернем» все части этого неравенства, зная, что все они строго положительные:

$$\frac{1}{\mathrm{tg}x}<\frac{1}{x}<\frac{1}{\sin x}$$

Уножим все части неравенства на $\sin x$:

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

В правой части имеем константную функцию, которая при любом $x$ равна $1$. Поэтому

$$\underset{x\to 0}{\lim }1=1$$

В левой части неравенства имеем функцию косинуса. Так как косинус непрерывен (П-ссылка), то

$$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$$

Итак, наша функция $\frac{\sin x}{x}$ «зажата» между стремящимеся к $1$ функциями $\cos x$ и $1$. По теореме о двух милиционерах это означает, что

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$■$

Следствия

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}=1$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}=\left|\begin{array}{c}\cos (2\alpha )=1-2{\sin }^2(\alpha )\end{array}\right|= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\left|\begin{array}{c}y=\frac{x}{2}\\ y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin y}{y}\right)}^2=1 \end{gathered}$$

TODO: Доказать оставшиеся следствия с обр. триг. функ., когда докажу теоремы остальные теоремы про непрерывность.