TODO: Переименовать в "bm-bb-arifm" и добавить таблицу операций
Обозначим за произвольную б.б., за произвольную б.м. при стремлении к конечной или бесконечной . Пусть — функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки . Тогда выполняются «предельные» равенства:
Если — бесконечно малая функция, то выполняется равенство:
Доказательство
Распишем по определению бесконечно малую в точке :
Распишем по определению ограниченность в некоторой проколотой окрестности точки :
Пусть теперь нам дали произвольное число . Тогда для числа через определение бесконечно малой всегда найдется окрестность , такая, что для любого в ней выполняется:
Введем в рассмотрение окрестность :
Тогда для любого в будет выполняться:
Умножим эти два неравенства друг на друга и воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):
Итак, объединяя все вместе, выполняется следующее:
Это по определению означает, что
Пусть — бесконечно большая функция.
Если для всех равна , то
Если в любой проколотой окрестности , имеет хотя бы одну точку , в которой , то предела функции при не существует.
Если имеет проколотую окрестность , в каждой точке которой она не равна , то
Для выполнения равенства может и не быть ограниченной!
Если имеет знакопостоянную окрестность, которая совпадает по знаку со знаком бесконечности , то и бесконечность справа от равенства будет иметь такой же знак.
Доказательство
Если всегда равна , то и функция всегда равна 0. Предел константной функции при любом стремлении равен этой самой константе, поэтому .
Если в любой окрестности точки находится , при котором , то функция не имеет предела, потому что мы можем две последовательности. Одна состоит только из как раз тех -ов, при которых . Предел значений функции такой последовательности -ов будет равен . Вторая последовательность будет состоять из любых , кроме тех, которые есть в первой последовательности. Предел значений функции такой последовательности -ов будет стремится к .
Получаем, что две последовательности -ов стремятся к , а соответствующие значения функций стремятся к двум разным пределам: и . Это означает, что не выполняется определение предела функции в точке по Гейне, а значит никакого предела в этой точке функция не имеет (см. прото-задачу П-ссылка).
Наконец, разберем вариант, при котором существует проколотая окрестность функции , в которай она и не равна .
Пусть нам дали какую-то границу . Тогда для через определение бесконечно большой всегда найдется окрестность , которая вместе с ненулевой окрестностью образует пересечение :
Для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство:
Левая часть неравенства выполняется из-за окрестности , для которой верно . Правая часть неравенства выполняется из-за окрестности .
Пользуясь свойствами модуля (см. прото-задачу П-ссылка), получим что
Если строго, то выполняется:
По определению это означает, что
Если — бесконечно большая функция, то выполняется равенство:
Знак бесконечности справа будет таким же, какой знак имеет бесконечность .
Доказательство
Ход доказательства почти такой же, как и для равенства пункта а).
Пусть нам дали произвольную границу . Тогда для числа через определение бесконечно большой всегда найдется окрестность , а через ограниченность окрестность , такие, что
Сложим эти два неравенства друг с другом и воспользуемся неравенством треугольника для модулей (см. прото-задачу П-ссылка):
Итак, объединяя все вместе, выполняется следующее:
По определению это означает, что