Использовать первый замечательный предел в этой задаче нельзя, так как $x$ стремится к $\infty$, а не к $0$!

Из определения синуса нам известно, что он является ограниченной функцией:

$$-1\le \sin x\le 1$$

В то же время функция $\frac{1}{x}\to 0$ при $x\to \infty$, так как это элементарный предел (П-ссылка).

Итак, имеем произведение ограниченной и бесконечно малой функций, результат которого по прото-задаче П-ссылка тоже является бесконечно малой:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot \sin x=\left|\begin{array}{c}0\cdot f(x)=0\end{array}\right|=0$$