Используем формулу разности синусов (см. указание):

$$\begin{gathered} \sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}= \\ =\sin \left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\right)\cdot 2\cos \left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\right) \end{gathered}$$

Введем следующие обозначения:

$$\begin{gathered} f(x)=\sin \left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\right) \\ g(x)=2\cos \left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\right) \end{gathered}$$

Функция $f(x)$

Докажем, что выражение под синусом стремится к $0$ при $x\to +\infty$, используя прото-задачу П-ссылка, а также свойства предела степенной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}= \\ =\left|\begin{array}{c}\frac{1}{2((+\infty )+(+\infty ))}=\frac{1}{2\cdot (+\infty )}=\frac{1}{+\infty }=0\end{array}\right|=0 \end{gathered}$$

Раз аргумент синуса стремится к $0$, то, согласно непрерывности синуса (П-ссылка) он сам стремится к $\sin 0=0$.

Мы доказали, что

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$$

Функция $g(x)$

По определению функции косинуса его значение ни при каких аргументах не может оказаться больше $1$ или меньше $-1$:

$$-1\le \cos \left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\right)\le 1$$

Умножим все части неравенства на $2$:

$$-2\le 2\cos \left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\right)\le 2$$

Мы показали, что $g(x)$ — ограниченная функция.

Итог

Нам нужно найти значение следующего предела:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)g(x)$$

Получаем произведение бесконечно малой функции $f(x)$ и ограниченной $g(x)$. По прото-задаче П-ссылка предел такого произведения равен $0$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})=0$$