Отношение степенной и показательной последовательностей

Левая последовательность состоит из одних $0$ , а значит стремится к $0$ . Справа имеем убывающую геометрическую прогрессию, которая тоже сходится к $0$ (см. прото-задачу П-ссылка) а значит, по теореме о двух милиционерах, и зажатая между ними последовательность тоже стремится к $0$ .

Дальше мы будем заниматься выводом убывающей геометрической прогрессии.

Последовательность отношений

Последовательность из условия: $x_{n} = \frac{n ^{k}}{a ^{n}}$

Рассмотрим отношение двух соседних членов этой последовательности:

$\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{\frac{( n + 1 ) ^{k}}{a ^{n + 1}}}{\frac{n ^{k}}{a ^{n}}} = \frac{( n + 1 ) ^{k}}{a ^{n + 1}} \cdot \frac{a ^{n}}{n ^{k}} = \frac{1}{a} \cdot (\frac{n + 1}{n})^{k}$

$\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{1}{a} \cdot (\frac{n + 1}{n})^{k}$

Получается, отношение двух соседних членов последовательности тоже представляет собой какую-то последовательностью. Назовем ее последовательностью отношений и обозначим за $q_{n}$ :

$q_{n} = \frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{1}{a} \cdot (\frac{n + 1}{n})^{k}$

$q_{n} = \frac{1}{a} (\frac{n + 1}{n})^{k}$

Зачем она нужна? Так как она является отношением соседних элементов $x_{n}$ , она показывает, что происходит с этой последовательностью по мере увеличения $n$ .

Убывание последовательности отношений

Докажем, что последовательность отношений убывает, то есть:

$q_{n + 1} \frac{1}{a} (\frac{n + 2}{n + 1})^{k} (\frac{n + 2}{n + 1})^{k} \frac{n + 2}{n + 1} n^{2} + 2 n 0 < q_{n} < \frac{1}{a} (\frac{n + 1}{n})^{k} < (\frac{n + 1}{n})^{k} < \frac{n + 1}{n} < n^{2} + 2 n + 1 < 1$

Итак, мы доказали, что она действительно убывает.

$■$

Последовательность отношений меньше $1$

Докажем, что, начиная с какого-то номера $t$ , последовательность отношений будет строго меньше $1$ :

$\exists t : q_{t} < 1$

Рассмотрим неравенство в правой части:

$q_{t} < 1$

$\frac{1}{a} (\frac{t + 1}{t})^{k} < 1$

Домножаем обе части на $a$ :

$(\frac{t + 1}{t})^{k} < a$

Берем корень $k$ -ой степени из обеих частей неравенства:

$\frac{t + 1}{t} = 1 + \frac{1}{t} < k a$

Вычитаем $1$ из обеих частей:

$\frac{1}{t} < k a - 1$

Делим обе части на $k a - 1$ (знаки не меняются, так как $k a - 1 > 0$ ) и умножаем на $t$ :

$t > \frac{1}{k a - 1}$

Так как $t$ натуральное (ведь это номер элемента последовательности), возьмем за $t$ округление сверху («потолок») полученного выше выражения, увеличенного на $1$ :

$t = ⌈ \frac{1}{k a - 1} ⌉ + 1 > ⌈ \frac{1}{k a - 1} ⌉ \geq \frac{1}{k a - 1}$

Итак, мы нашли такой номер $t$ , что соответствующий ему член последовательности приращений $q_{t}$ будет строго меньше $1$ .

$■$

Итог по последовательности отношений

Мы доказали, что существует такой номер $t$ , что $1 > q_{t}$

Также мы доказали, что последовательность $q_{n}$ убывает. Это значит, что следующие члены после $q_{t}$ будут строго меньше $1$ :

$1 > q_{t} > q_{t + 1} > q_{t + 2} > \dots$

В совокупности это означает, что со временем последовательность $x_{n}$ перестает возрастать, а затем и вовсе начинает убывать (в момент достижения $q_{t}$ ) с возрастающей скоростью (т.к. $q_{n}$ строго убывает).

Доказательство значения предела

Рассмотрим члены исходной последовательности $x_{n}$ , начиная с номера $t + 1$ :

$x_{t + 1} x_{t + 2} = x_{t + 1} \cdot q_{t + 1} x_{t + 3} = x_{t + 2} \cdot q_{t + 2} = x_{t} \cdot q_{t} = x_{t} \cdot q_{t} q_{t + 1} = x_{t} \cdot q_{t} q_{t + 1} q_{t + 2} \dots$

Пользуясь цепным неравенством в разделе итогов выше, замечаем, что

$q_{t}^{2} q_{t}^{3} > q_{t} q_{t + 1} > q_{t} q_{t + 1} q_{t + 2} \dots$

Поэтому справедливы следующие неравенства:

$x_{t + 1} x_{t + 2} x_{t + 3} x_{t + k} \leq x_{t} \cdot q_{t} < x_{t} \cdot q_{t}^{2} < x_{t} \cdot q_{t}^{3} \dots < x_{t} \cdot q_{t}^{k}$

Обозначим $n = t + k$ , получаем следующее неравенство $n$ -го члена последовательности, начиная с $t + 1$ -го элемента:

$x_{n} \leq x_{t} \cdot q_{t}^{n - t}, n > t$

Преобразуем $q^{n - t}$ :

$q_{t}^{n - t} = q_{t}^{n} \cdot q_{t}^{- t} = \frac{q _{t}^{n}}{q _{t}^{t}}$

$x_{n} \leq \frac{x _{t}}{q _{t}^{t}} \cdot q_{t}^{n}, n > t$

Заменим теперь $x_{n}$ и $x_{t}$ на соостветствующие выражения:

$\frac{n ^{k}}{a ^{n}} \leq \frac{t ^{k}}{a ^{t} \cdot q _{t}^{t}} \cdot q_{t}^{n}, n > t$

Теперь «зажмем» эту последовательность между $0$ и правой частью выведенного неравенства:

$0 < \frac{n ^{k}}{a ^{n}} \leq \frac{t ^{k}}{a ^{t} \cdot q _{t}^{t}} \cdot q_{t}^{n}$

На первые $t$ членов последовательности, для которых неравенство в правой части может не выполняться не обращаем внимание. На предел эти первые $t$ членов не окажут никакого влияния (см. прото-задачу П-ссылка).

«Последовательность» в левой части неравенства состоит из одних $0$ и, очевидно, стремится к $0$ .

В правой части имеем убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем $q_{t}$ :

$C \frac{t ^{k}}{a ^{t} \cdot q _{t}^{t}} \cdot q_{t}^{n}$

По прото-задаче П-ссылка мы знаем, что убывающая геометрическая прогрессия стремится к $0$ .

Итак, наша последовательность из условия зажата с одной строны нулем (который $\to 0$ ) и, начиная с номера $t$ , зажата с другой стороны убывающей геометрической прогрессией (которая тоже $\to 0$ ), а значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» последовательность тоже стремится к $0$ .