Внимательно разберите ход решения прото-задачи П-ссылка. Убедитесь, что вы все поняли. В этом решении будут комментироваться только основные моменты.

Если $q$ = 0, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{0}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

$$-|a|\le a\le |a|$$

Применим его для $q^n$ в последовательности из условия:

$$-|q^n|\le q^n\le |q^n|$$

Воспользуемся еще одним свойством модуля (из все той же прото-задачи):

$$|a\cdot b|=|a||b|$$

С помощью этого свойства можно «вытащить» показатель степени из-под модуля:

$$|a^n|=|a\cdot a\cdot a\cdot \dots |=|a||a||a|\dots =|a{|}^n$$

Поэтому полученное для $q^n$ цепное неравенство можно переписать так:

$$-|q{|}^n\le q^n\le |q{|}^n$$

Умножим это неравенство на положительное $n$:

$$-n|q{|}^n\le n{q}^n\le n|q{|}^n$$

Нам достаточно лишь показать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n|q{|}^n=0$$

Если это так, последовательность из условия будет автоматом «зажата» между двумя последовательностями, стремящимися к $0$, а значит, по теореме о двух милиционерах, сама будет стремиться к $0$.

Итак, дальше мы будем доказывать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n|q{|}^n=0$$

Путь доказательства абсолютно такой же, что и в доказательстве в прото-задаче П-ссылка. Внимательно его изучите. Далее будут только основные шаги, некоторые переходы не будут поясняться!

Представим последовательность $n|q{|}^n$ в рекуррентом виде:

$$x_{n+1}=x_n\cdot q_n,$$

где, $q_n$ — последовательность отношений.

Выясним, чему равен каждый член $q_n$:

$$q_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+1)|q{|}^{n+1}}{n|q{|}^n}=\frac{(n+1)|q{|}^n\cdot |q|}{n|q{|}^n}=|q|\frac{n+1}{n}$$

$$q_n=|q|\frac{n+1}{n}$$

Покажем, что последовательность отношений $q_n$ убывает:

$$q_{n+1}<q_n$$

$$|q|\frac{n+2}{n+1}<|q|\frac{n+1}{n}$$

Делим обе части на $|q|$ (смены знаков не будет, так как $|q|>0$):

$$\frac{n+2}{n+1}<\frac{n+1}{n}$$

Обе части умножаем на $n(n+1)$:

$$\begin{gathered} n^2+2n<n^2+2n+1 \\ 0<1 \end{gathered}$$

Итак, мы доказали, что $q_n$ убывает.

$■$

Докажем, что найдется такой номер $t$, что $q_t$ будет строго меньше $1$:

$$\exists t:q_t<1$$

Разбираемся с неравенством в конце:

$$q_t<1$$

$$|q|\frac{t+1}{t}<1$$

Делим обе части на $|q|$ и упрощаем дробь слева:

$$1+\frac{1}{t}<\frac{1}{|q|}$$

Вычитаем $1$ из обеих частей:

$$\frac{1}{t}<\frac{1}{|q|}-1=\frac{1-|q|}{|q|}$$

«Переворачиваем» дроби (знак не поменяется, так как $1-|q|>0$, так как $|q|<1$ по условию):

$$t>\frac{|q|}{1-|q|}$$

$t$ должно быть натуральным (ведь это номер элемента последовательности), поэтому возьмем за $t$ округление сверху («потолок») полученного выше выражения, увеличенного на $1$:

$$t=\lceil \frac{|q|}{1-|q|}\rceil +1>\lceil \frac{|q|}{1-|q|}\rceil \ge \frac{|q|}{1-|q|}$$

Итак, мы нашли такой номер $t$, что соответствующий ему член последовательности отношений $q_t$ будет строго меньше $1$.

$■$

Теперь сразу переходим к готовому неравенству (разъяснение смотрите в прото-задаче, о которой говорилось выше):

$$x_n\le \frac{x_t}{q_t^t}\cdot q_t^n,n>t$$

Заменим $x_n$ и $x_t$ на соостветствующие выражения:

$$n|q{|}^n\le \frac{t|q{|}^t}{q_t^t}\cdot q_t^n,n>t$$

Теперь «зажмем» эту последовательность между $0$ и правой частью выведенного неравенства:

$$0<n|q{|}^n\le \frac{t|q{|}^t}{q_t^t}\cdot q_t^n,n>t$$

На первые $t$ членов последовательности, для которых неравенство в правой части может не выполняться не обращаем внимание. На предел они не окажут никакого влияния (см. прото-задачу П-ссылка).

«Последовательность» в левой части неравенства состоит из одних $0$ и, очевидно, стремится к $0$.

Выясним предел последовательности в правой части неравенства (принимая во внимание, что дробь является громоздкой константой и не зависит от $n$):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{t|q{|}^t}{q_t^t}\cdot q_t^n=\frac{t|q{|}^t}{q_t^t}\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_t^n=\frac{t|q{|}^t}{q_t^t}\cdot 0=0$$

Тут мы использовали тот факт, геометрическая прогрессия со знаменателем, который меньше $1$ (а $q_t$ у нас по определению меньше $1$) стремится к $0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, наша последовательность $n|q{|}^n$ зажата с одной строны нулем (который $\to 0$) и, начиная с номера $t$, зажата с другой стороны убывающей геометрической прогрессией (которая тоже $\to 0$), а значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» последовательность тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n|q{|}^n=0$$

Это означает, что последовательности слева и справа в выведенном в начале решения неравенстве стремятся к $0$:

$$-n|q{|}^n\le n{q}^n\le n|q{|}^n$$

И вновь, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к $0$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{q}^n=0$$

$■$