Сначала поработаем с самой суммой:

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\dots +\frac{2n-1}{2^n}$$

Разложим ее так, чтобы у каждого члена в числителе была $1$ и представим в виде таблицы:

$$\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}& +\frac{1}{2^2}& +\frac{1}{2^3}& +\dots & +\frac{1}{2^n}\\ & +\frac{1}{2^2}& +\frac{1}{2^3}& +\dots & +\frac{1}{2^n}\\ & +\frac{1}{2^2}& +\frac{1}{2^3}& +\dots & +\frac{1}{2^n}\\ & & +\frac{1}{2^3}& +\dots & +\frac{1}{2^n}\\ & & +\frac{1}{2^3}& +\dots & +\frac{1}{2^n}\\ & & & & ⋮\\ & & & & +\frac{1}{2^n}\\ \frac{1}{2}& +\frac{3}{2^2}& +\frac{5}{2^3}& +\dots & +\frac{2n-1}{2^n}\end{array}$$

В первой строчке таблицы воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии со знаменателем $\frac{1}{2}$ и первым членом, равным $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{\frac{1}{2}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1\right)}{\frac{1}{2}-1}=1-\frac{1}{2^n}$$

Во второй строчке таблицы выносим за скобки $\frac{1}{2}$ и вновь используем формулу суммы первых $n-1$ членой геометрической прогрессии:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-1\right)}{\frac{1}{2}-1}= \\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) \end{gathered}$$

Проделаем эти операции с каждой строчкой таблицы и сложим результаты:

$$\begin{gathered} \left(1-\frac{1}{2^n}\right)+ \\ +\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)+ \\ +\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2^{n-2}}\right)+\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2^{n-2}}\right)+\dots +\frac{1}{2^n}= \\ =1-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2^n}+\dots = \\ =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n} \end{gathered}$$

Из полученного результата можно выделить две суммы первых $n-1$ членов геометрической прогрессии:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}$$

Воспользуемся формулой суммы первых $n-1$ членов геометрической прогрессии:

$$\frac{\frac{1}{2}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-1\right)}{\frac{1}{2}-1}=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Так как таких сумм две, удваиваем результат и подставляем его обратно вместо сумм:

$$1+2-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-\frac{2n-1}{2^n}$$

Немного упростим:

$$3-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-\frac{2n-1}{2^n}$$

Найдем значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\dots +\frac{2n-1}{2^n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }3-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-\frac{2n-1}{2^n}= \\ =3-\underset{n\to \infty }{\lim }4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n-1}{2^n}= \\ =3-0-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{2^n}+\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=3-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{2^n}= \\ =3-2\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}=3-0=3 \end{gathered}$$

Выше мы использовали тот факт, что ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, так как это убывающая геометрическая прогрессия (см. прото-задачу П-ссылка) и $\frac{n}{2^n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).