Демидович
101

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Пункт а)

Нахождение

Так как — натуральное число, то

Поделим обе части на

Умножим обе части на и добавим к обеим сторонам :

Но , поэтому — наименьший элемент последовательности , а значит

Нахождение

Докажем, что

Для этого надо доказать два пункта:

  1. — верхняя граница
  2. — точная верхняя грань

Первый пункт доказывается элементарно. Так как в каждом член последовательности мы вычитаем положительную дробь из , поэтому любой член последовательности строго меьше . То есть, — верхняя грань .

Для доказательства второго пункта нужно доказать

То есть, нужно показать, что всегда найдется такой член последовательности , который будет больше .

Рассмотрим неравенство в конце:

Вычитаем из обеих частей и умножаем неравенство на :

Откуда

Итак, нам достаточно взять по следующей формуле

Тогда

То есть будет больше .

Итак, мы показали, что — точная верхняя грань .

Наибольший и наименьший частичные пределы

Найдем предел последовательности :

Выше использовался факт того, что (см. прото-задачу П.10).

Если последовательность сходится к какому-то числу , то это — единственная предельная точка этой последовательности (см. прото-задачу П.19).

Это означает, что наибольший и наименьший частичные пределы равны пределу исходной последовательности:

Пункт б)

Нахождение

При четных любой член будет отрицательным, поэтому искать надо только среди нечетных :

Так как — натуральное число, то

Разделим обе части на и умножим на :

Прибавим к обеим частям :

Но , поэтому — наибольший член последовательности , а значит

Нахождение

При нечетных любой член последовательности будет положительным, поэтому искать надо только среди четных :

Так как — натуральное четное число, то

Разделим обе части на :

Умножим обе части на :

Прибавим к обеим частям :

Но , поэтому — наименьший член последовательности , а значит

Нахождение наибольшего и наименьшего частичных пределов

Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из нечетных :

Найдем предел этой подпоследовательности

Последовательность можно "зажать" между и .

"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к .

Итак, мы нашли один из частичных пределов:

Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из четных :

Найдем предел этой подпоследовательности

Выше мы вновь воспользовались тем, что (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей").

Итак, у нас есть две предельные точки:

Так как любой элемент исходной последовательности находится в одной из двух подпоследовательностях выше, то, по прото-задаче П.22 у последовательности больше нет других предельных точек, кроме и .

Значит

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.