Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 101
Нормальная
Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Решение

Пункт а)

Нахождение

Так как — натуральное число, то

Поделим обе части на

Умножим обе части на и добавим к обеим сторонам :

Но , поэтому — наименьший элемент последовательности , а значит

Нахождение

Докажем, что

Для этого надо доказать два пункта:

  1. — верхняя граница
  2. — точная верхняя грань

Первый пункт доказывается элементарно. Так как в каждом член последовательности мы вычитаем положительную дробь из , поэтому любой член последовательности строго меьше . То есть, — верхняя грань .

Для доказательства второго пункта нужно доказать

То есть, нужно показать, что всегда найдется такой член последовательности , который будет больше .

Рассмотрим неравенство в конце:

Вычитаем из обеих частей и умножаем неравенство на :

Откуда

Итак, нам достаточно взять по следующей формуле

Тогда

То есть будет больше .

Итак, мы показали, что — точная верхняя грань .

Наибольший и наименьший частичные пределы

Найдем предел последовательности :

Выше использовался факт того, что (см. прото-задачу П-ссылка).

Если последовательность сходится к какому-то числу , то это — единственная предельная точка этой последовательности (см. прото-задачу П-ссылка).

Это означает, что наибольший и наименьший частичные пределы равны пределу исходной последовательности:

Пункт б)

Нахождение

При четных любой член будет отрицательным, поэтому искать надо только среди нечетных :

Так как — натуральное число, то

Разделим обе части на и умножим на :

Прибавим к обеим частям :

Но , поэтому — наибольший член последовательности , а значит

Нахождение

При нечетных любой член последовательности будет положительным, поэтому искать надо только среди четных :

Так как — натуральное четное число, то

Разделим обе части на :

Умножим обе части на :

Прибавим к обеим частям :

Но , поэтому — наименьший член последовательности , а значит

Нахождение наибольшего и наименьшего частичных пределов

Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из нечетных :

Найдем предел этой подпоследовательности

Последовательность можно «зажать» между и .

«Последовательность» из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П-ссылка). А значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к .

Итак, мы нашли один из частичных пределов:

Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из четных :

Найдем предел этой подпоследовательности

Выше мы вновь воспользовались тем, что (см. прото-задачу «Элементарные пределы последовательностей»).

Итак, у нас есть две предельные точки:

Так как любой элемент исходной последовательности находится в одной из двух подпоследовательностях выше, то, по прото-задаче П-ссылка у последовательности больше нет других предельных точек, кроме и .

Значит