Пункт а)

$$x_n=1-\frac{1}{n}$$

Нахождение $\inf x_n$

Так как $n$ — натуральное число, то

$$n\ge 1$$

Поделим обе части на $n$

$$\frac{1}{n}\le 1$$

Умножим обе части на $-1$ и добавим к обеим сторонам $1$:

$$x_n=1-\frac{1}{n}\ge 0$$

$$x_n\ge 0$$

Но $x_1=0$, поэтому $x_1$ — наименьший элемент последовательности $x_n$, а значит

$$\inf x_n=x_1=0$$

Нахождение $\sup x_n$

Докажем, что

$$\sup x_n=1$$

Для этого надо доказать два пункта:

1. $1$ — верхняя граница $x_n$
2. $1$ — точная верхняя грань $x_n$

Первый пункт доказывается элементарно. Так как в каждом член последовательности $x_n$ мы вычитаем положительную дробь $\frac{1}{n}$ из $1$, поэтому любой член последовательности строго меьше $1$. То есть, $1$ — верхняя грань $x_n$.

Для доказательства второго пункта нужно доказать

$$\forall \epsilon >0\exists x_n^{\prime }:x_n^{\prime }>1-\epsilon$$

То есть, нужно показать, что всегда найдется такой член последовательности $x_n^{\prime }$, который будет больше $1-\epsilon$.

Рассмотрим неравенство в конце:

$$x_n^{\prime }>1-\epsilon$$

$$1-\frac{1}{n^{\prime }}>1-\epsilon$$

Вычитаем из обеих частей $1$ и умножаем неравенство на $-1$:

$$\frac{1}{n^{\prime }}<\epsilon$$

Откуда

$$n^{\prime }>\frac{1}{\epsilon }$$

Итак, нам достаточно взять $n^{\prime }$ по следующей формуле

$$n^{\prime }=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil +1$$

Тогда

$$n^{\prime }=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil +1>\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil \ge \frac{1}{\epsilon }$$

$$n^{\prime }>\frac{1}{\epsilon }$$

То есть $x_n^{\prime }$ будет больше $1-\epsilon$.

Итак, мы показали, что $1$ — точная верхняя грань $x_n$.

Наибольший и наименьший частичные пределы

Найдем предел последовательности $x_n$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }1-\frac{1}{n}=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=1-0=1$$

Выше использовался факт того, что $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Если последовательность $x_n$ сходится к какому-то числу $a$, то это $a$ — единственная предельная точка этой последовательности (см. прото-задачу П-ссылка).

Это означает, что наибольший и наименьший частичные пределы равны пределу исходной последовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$

Пункт б)

$$x_n=(-1{)}^{n-1}\left(2+\frac{3}{n}\right)$$

Нахождение $\sup x_n$

При четных $n$ любой член $x_n$ будет отрицательным, поэтому искать $\sup$ надо только среди нечетных $n$:

$$x_n=2+\frac{3}{n},n\text{ — нечетное}$$

Так как $n$ — натуральное число, то

$$n\ge 1$$

Разделим обе части на $n$ и умножим на $3$:

$$\frac{3}{n}\le 3$$

Прибавим к обеим частям $2$:

$$x_n=2+\frac{3}{n}\le 5$$

Но $x_1=5$, поэтому $x_1$ — наибольший член последовательности $x_n$, а значит

$$\sup x_n=x_1=5$$

Нахождение $\inf x_n$

При нечетных $n$ любой член последовательности $x_n$ будет положительным, поэтому искать $\inf$ надо только среди четных $n$:

$$x_n=-2-\frac{3}{n},n\text{ — четное}$$

Так как $n$ — натуральное четное число, то

$$n\ge 2$$

Разделим обе части на $2n$:

$$\frac{1}{n}\le \frac{1}{2}$$

Умножим обе части на $-3$:

$$-\frac{3}{n}\ge -\frac{3}{2}$$

Прибавим к обеим частям $-2$:

$$x_n=-2-\frac{3}{n}\ge -2-\frac{3}{2}=-3.5$$

Но $x_2=-3.5$, поэтому $x_2$ — наименьший член последовательности $x_n$, а значит

$$\inf x_n=x_2=-3.5$$

Нахождение наибольшего и наименьшего частичных пределов

Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из нечетных $n$:

$$x_{2n-1}=(-1{)}^{2n-2}\left(2+\frac{3}{2n-1}\right)={\left((-1{)}^2\right)}^{n-1}\left(2+\frac{3}{2n-1}\right)$$

$$x_{2n-1}=2+\frac{3}{2n-1}$$

Найдем предел этой подпоследовательности

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2+\frac{3}{2n-1}\right)=2+3\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}$$

Последовательность $\frac{1}{2n-1}$ можно «зажать» между $0$ и $\frac{1}{n}$.

$$0\le \frac{1}{2n-1}\le \frac{1}{n}$$

«Последовательность» из $0$ стремится к $0$. Последовательность $\frac{1}{n}$ тоже стремится к $0$ (см. прото-задачу П-ссылка). А значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность $\frac{1}{2n-1}$ тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=2+3\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}=2+3\cdot 0=2$$

Итак, мы нашли один из частичных пределов:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=2$$

Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из четных $n$:

$$x_{2n}=(-1{)}^{2n-1}\left(2+\frac{3}{2n}\right)=\frac{{\left((-1{)}^2\right)}^n}{(-1)}\left(2+\frac{3}{2n}\right)$$

$$x_{2n}=-\left(2+\frac{3}{2n}\right)$$

Найдем предел этой подпоследовательности

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }-\left(2+\frac{3}{2n}\right)=-2-\frac{3}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=-2-\frac{3}{2}\cdot 0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=-2$$

Выше мы вновь воспользовались тем, что $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу «Элементарные пределы последовательностей»).

Итак, у нас есть две предельные точки:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=2$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=-2$$

Так как любой элемент исходной последовательности $x_n$ находится в одной из двух подпоследовательностях выше, то, по прото-задаче П-ссылка у последовательности $x_n$ больше нет других предельных точек, кроме $2$ и $-2$.

Значит

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=2$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=-2$$