Единственность предельной точки

Итак, для любого положительного $ε > 0$ найдется такой номер $N$ , после которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству $∣ x_{n} - a ∣ < ε$ .

Рассмотрим произвольную подпоследовательность $x_{p_{n}}$ . После номера $N$ лежит бесконечно много элементов этой подпоследовательности. Так как элементы подпоследовательности являются какими-то элементами исходной последовательности, то каждый элемент $x_{p_{n}}$ при $p_{n} > N$ тоже удовлетворяет неравенству $∣ x_{p_{n}} - a ∣ < ε$ .

Итак

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{p_{n}} - a ∣ < ε$

А это по определению означает, что

$n \to \infty lim x_{p_{n}} = a$

Мы доказали, что если существует предел исходной последовательности $x_{n}$ , равный $a$ , то и любая ее подпоследовательность $x_{p_{n}}$ сходится к $a$ . Это также означает, что других предельных точек у $x_{n}$ не может быть, то есть $a$ — единственная предельная точка $x_{n}$ .

$■$

Теорема

Если $a \in R$ — единственная предельная точка последовательности $x_{n}$ , то

$n \to \infty lim x_{n} = a$

Доказательство

Нам известно, что $a$ — единственная предельная точка $x_{n}$ , причем $a \in R$ .

Ограниченность

x_{n}

Докажем, что $x_{n}$ ограничена. Пусть это не так и $x_{n}$ неограниченная. Тогда, согласно задаче 126, в ней можно выделить подпоследовательность $x_{q_{n}}$ такую, что

$n \to \infty lim x_{q_{n}} = \infty$

Но тогда

$\overline{n \to \infty lim} x_{n} = \underline{n \to \infty lim} x_{n} = \infty \neq = a$

Получили противоречие, так как $a$ — конечное число.

Итак, мы доказали, что $x_{n}$ ограничена.

окажем, что

$n \to \infty lim x_{n} = a$

Докажем от противного. Пусть предел $x_{n}$ не равен $a$ , запишем отрицание определения предела:

$\exists ε^{'} > 0 \forall N = (ε^{'}) \exists n > N : ∣ x_{n} - a ∣ \geq ε^{'}$

Пусть $N = 1$ , тогда найдется такое $n_{1} > N$ , что $∣ x_{n_{1}} - a ∣ \geq ε^{'}$ .

Пусть $N = n_{1}$ , тогда найдется такое $n_{2} > N = n_{1}$ , что $∣ x_{n_{2}} - a ∣ \geq ε^{'}$ .

Процесс можно продолжать бесконечно.

Итак, получили подпоследовательность $x_{n_{p}}$ вида

$x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, x_{n_{3}}, \dots$

причем для каждого члена выполняется неравенство $∣ x_{n_{i}} - a ∣ \geq ε^{'}$ .

Так как $x_{n_{p}}$ — подпоследовательность $x_{n}$ , а и $x_{n}$ ограничена, то и $x_{n_{p}}$ тоже ограничена. Раз $x_{n_{p}}$ ограничена, то, по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{r_{n}}$ . Так как по условию $a$ — единственная предельная точка, то

$n \to \infty lim x_{r_{n}} = a$

По определению это означает, что

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{r_{n}} - a ∣ < ε$

Раз выполняется для любого $ε > 0$ , то выполняется и для $ε^{'}$ . То есть, для $ε^{'}$ существует такой номер $N$ , после которого все члены подпоследовательности $x_{r_{n}}$ удовлетворяют неравенству

aria-hidden="true">∣xrn−a∣<ε′

Но любой член $x_{r_{n}}$ является каким-то членом $x_{n_{p}}$ , а никакой член $x_{n_{p}}$ не удовлетворяет этому неравенству!

Получили противоречие:

$∣ x_{r_{n}} - a ∣ < ε^{'} ∣ x_{r_{n}} - a ∣ \geq ε^{'}$

Это означает, что наши рассуждения от противного о том, что предел $x_{n}$ не равен $a$ привели к противоречию. Значит

$n \to \infty lim x_{n} = a$

$■$

Зависимые задачи

72 89 101 110 112 124 128 130 132 134 135 136 137 138