Демидович
105

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Выясним, какие значения может принимать

Любое натуральное число при делении на дает один из трех остатков: или , то есть его можно представить в одном из следующих видов:


Рассмотрим три подпоследовательности, подставляя вместо вычисленные выше значения:


Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы воспользовались тем, что . Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между и :

При этом (см. прото-задачу П.10).

Найдем предел подпоследовательности :

Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы воспользовались тем, что . Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между и :


Итак, мы нашли две предельные точки последовательности :

Так как любой член последовательности лежит либо в , либо в , либо в , то, по прото-задаче П.22 других предельных точек у нет.

А значит


Докажем, что — верхняя граница последовательности :

Для этого покажем, что

Последнее неравенство выполняется всегда, так как слева , а справа — отрицательное число. Итак, .

Покажем, что

Последнее неравенство очевидно выполняется. Итак, .

Покажем, что

Последнее неравенство очевидно выполняется. Итак, .

Мы показали, что не меньше любого члена любой из трех вышеуказанных подпоследовательностей. Любой член принадлежит одной из этих трех подпоследовательностей, поэтому — верхняя граница .

По прото-задаче П.17 это означает, что — точная верхняя грань:

Аналагично показывается, что , как предел , является точной нижней гранью:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Точные грани и предельные точки
Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.