Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 105
Нормальная
Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Решение

Выясним, какие значения может принимать

Любое натуральное число при делении на дает один из трех остатков: или , то есть его можно представить в одном из следующих видов:


Рассмотрим три подпоследовательности, подставляя вместо вычисленные выше значения:


Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы воспользовались тем, что . Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между и :

При этом (см. прото-задачу П-ссылка).

Найдем предел подпоследовательности :

Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы воспользовались тем, что . Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между и :


Итак, мы нашли две предельные точки последовательности :

Так как любой член последовательности лежит либо в , либо в , либо в , то, по прото-задаче П-ссылка других предельных точек у нет.

А значит


Докажем, что — верхняя граница последовательности :

Для этого покажем, что

Последнее неравенство выполняется всегда, так как слева , а справа — отрицательное число. Итак, .

Покажем, что

Последнее неравенство очевидно выполняется. Итак, .

Покажем, что

Последнее неравенство очевидно выполняется. Итак, .

Мы показали, что не меньше любого члена любой из трех вышеуказанных подпоследовательностей. Любой член принадлежит одной из этих трех подпоследовательностей, поэтому — верхняя граница .

По прото-задаче П-ссылка это означает, что — точная верхняя грань:

Аналагично показывается, что , как предел , является точной нижней гранью: