Выясним, какие значения может принимать

$$\cos \frac{2\pi n}{3}$$

Любое натуральное число $n$ при делении на $3$ дает один из трех остатков: $0,1$ или $2$, то есть его можно представить в одном из следующих видов:

$$\begin{gathered} n=3p \\ n=3p-1 \\ n=3p-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos 3p\cdot \frac{2\pi }{3}=\cos 2\pi =1 \\ \cos (3p-1)\cdot \frac{2\pi }{3}=\cos \left(2\pi p-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos -\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2} \\ \cos (3p-2)\cdot \frac{2\pi }{3}=\cos \left(2\pi p-\frac{4\pi }{3}\right)=\cos -\frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Рассмотрим три подпоследовательности, подставляя вместо $\cos$ вычисленные выше значения:

$$x_{3n}=\frac{3n-1}{3n+1}=\frac{3n+1-2}{3n+1}=1-\frac{2}{3n+1}$$

$$x_{3n-1}=-\frac{3n-2}{6n}=\frac{2-3n}{6n}=\frac{1}{3n}-\frac{1}{2}$$

$$\begin{gathered} x_{3n-2}=-\frac{3n-3}{6n-2}=-\frac{6n-6}{2(6n-2)}= \\ =-\frac{6n-2-4}{2(6n-2)}=-\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{12n-4}\right)=\frac{4}{12n-4}-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Найдем предел подпоследовательности $x_{3n}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{2}{3n+1}\right)=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{3n+1}=1-0=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=1$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{2}{3n+1}\to 0$. Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между $0$ и $\frac{1}{n}$:

$$0\le \frac{2}{3n+1}\le \frac{1}{n}$$

При этом $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Найдем предел подпоследовательности $x_{3n-1}$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{3n}-\frac{1}{2}\right)= \\ =\frac{1}{3}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{2}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=-\frac{1}{2}$$

Найдем предел подпоследовательности $x_{3n-1}$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{4}{12n-4}-\frac{1}{2}\right)= \\ =\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{12n-4}\right)-\frac{1}{2}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=-\frac{1}{2}$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{4}{12n-4}\to 0$. Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между $0$ и $\frac{1}{n}$:

$$0\le \frac{4}{12n-4}\le \frac{1}{n}$$

Итак, мы нашли две предельные точки последовательности $x_n$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=-\frac{1}{2}$$

Так как любой член последовательности $x_n$ лежит либо в $x_{3n}$, либо в $x_{3n-1}$, либо в $x_{3n-2}$, то, по прото-задаче П-ссылка других предельных точек у $x_n$ нет.

А значит

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=-\frac{1}{2}$$

Докажем, что $1$ — верхняя граница последовательности $x_n$:

Для этого покажем, что

$$\begin{gathered} 1\ge x_{3n} \\ 1\ge 1-\frac{2}{3n+1} \\ 0\ge -\frac{2}{3n+1} \end{gathered}$$

Последнее неравенство выполняется всегда, так как слева $0$, а справа — отрицательное число. Итак, $1\ge x_{3n}$.

Покажем, что

$$\begin{gathered} 1\ge x_{3n-1} \\ 1\ge \frac{1}{3n}-\frac{1}{2} \\ 1.5\ge \frac{1}{3n} \\ 4.5n\ge 1 \end{gathered}$$

Последнее неравенство очевидно выполняется. Итак, $1\ge x_{3n-1}$.

Покажем, что

$$\begin{gathered} 1\ge x_{3n-2} \\ 1\ge \frac{4}{12n-4}-\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}\ge \frac{4}{12n-4} \\ 36n-12\ge 8 \end{gathered}$$

Последнее неравенство очевидно выполняется. Итак, $1\ge x_{3n-2}$.

Мы показали, что $1$ не меньше любого члена любой из трех вышеуказанных подпоследовательностей. Любой член $x_n$ принадлежит одной из этих трех подпоследовательностей, поэтому $1$ — верхняя граница $x_n$.

По прото-задаче П-ссылка это означает, что $1$ — точная верхняя грань:

$$\sup x_n=1$$

Аналагично показывается, что $-\frac{1}{2}$, как предел $x_{3n-1}$, является точной нижней гранью:

$$\inf x_n=-\frac{1}{2}$$