Выясним, какие значения может принимать

$$\cos \frac{2n\pi }{3}$$

Любое натуральное число $n$ при делении на $3$ дает один из трех остатков: $0,1$ или $2$, то есть его можно представить в одном из следующих видов:

$$3k,3k-1,3k-2$$

Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:

$$\cos \frac{(3k)2\pi }{3}=\cos 2\pi =1$$

$$\cos \frac{(3k-1)2\pi }{3}=\cos \left(2\pi k-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos -\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

$$\cos \frac{(3k-2)2\pi }{3}=\cos \left(2\pi k-\frac{4\pi }{3}\right)=\cos -\frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

Получим формулы для трех подпоследовательностей:

$$x_{3n}=\frac{9n^2}{9n^2+1}$$

$$x_{3n-1}=-\frac{1}{2}\frac{9n^2-6n+1}{9n^2-6n+2}$$

$$x_{3n-2}=-\frac{1}{2}\frac{9n^2-12n+4}{9n^2-12n+5}$$

Найдем предел подпоследовательности $x_{3n}$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9n^2}{9n^2+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9n^2+1-1}{9n^2+1}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{9n^2+1}\right)=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{9n^2+1}=1-0=1 \end{gathered}$$

Здесь мы для последовательности $\frac{1}{9n^2+1}$ воспользовались теоремой о двух милиционерах, "зажав" ее между $0$ и $\frac{1}{n}$:

$$0\le \frac{1}{9n^2+1}\le \frac{1}{n}$$

Факт того, что $\frac{1}{n}\to 0$ доказывается в прото-задаче П.10.

Итак,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=1$$

Найдем предел подпоследовательности $x_{3n-1}$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{1}{2}\frac{9n^2-6n+1}{9n^2-6n+2}= \\ =-\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9n^2-6n+2-1}{9n^2-6n+2}=-\frac{1}{2}\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{9n^2-6n+2}\right)= \\ =-\frac{1}{2}\left(1-0\right)=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Здесь мы вновь воспользовались неравенством:

$$0\le \frac{1}{9n^2-6n+2}\le \frac{1}{n}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=-\frac{1}{2}$$

Найдем предел подпоследовательности $x_{3n-2}$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=\underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{1}{2}\frac{9n^2-12n+4}{9n^2-12n+5}= \\ =-\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9n^2-12n+5-1}{9n^2-12n+5}=-\frac{1}{2}\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{9n^2-12n+5}\right)= \\ =-\frac{1}{2}\left(1-0\right)=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Здесь мы снова воспользовались неравенством:

$$0\le \frac{1}{9n^2-12n+5}\le \frac{1}{n}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=-\frac{1}{2}$$

Итак, мы нашли два частичных предела последовательности $x_n$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

По прото-задаче П.22 других предельных точек у $x_n$ нет.

А значит:

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=-\frac{1}{2}$$