Найти и , если:
111
Решение
Выясним, какие значения может принимать
Любое натуральное число при делении на дает один из трех остатков: или , то есть его можно представить в одном из следующих видов:
Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:
Получим формулы для трех подпоследовательностей:
Найдем предел подпоследовательности :
Здесь мы для последовательности воспользовались теоремой о двух милиционерах, "зажав" ее между и :
Факт того, что доказывается в прото-задаче П.10.
Итак,
Найдем предел подпоследовательности :
Здесь мы вновь воспользовались неравенством:
Найдем предел подпоследовательности :
Здесь мы снова воспользовались неравенством:
Итак, мы нашли два частичных предела последовательности :
По прото-задаче П.22 других предельных точек у нет.
А значит:
Не разобрались?
СпроситьВсе поняли?
ПоддержатьПрото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.