Демидович
111

Найти и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Выясним, какие значения может принимать

Любое натуральное число при делении на дает один из трех остатков: или , то есть его можно представить в одном из следующих видов:

Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:


Получим формулы для трех подпоследовательностей:


Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы для последовательности воспользовались теоремой о двух милиционерах, "зажав" ее между и :

Факт того, что доказывается в прото-задаче П.10.

Итак,

Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы вновь воспользовались неравенством:

Найдем предел подпоследовательности :

Здесь мы снова воспользовались неравенством:


Итак, мы нашли два частичных предела последовательности :

По прото-задаче П.22 других предельных точек у нет.

А значит:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.