Рассмотрим члены последовательности до $10$ номера включительно:

$$\begin{gathered} x_1=-\frac{1}{9.2} \\ {x}_2=-\frac{1}{8.2} \\ \cdots \\ {x}_{10}=-\frac{1}{0.2} \end{gathered}$$

Легко показать, что

$$x_{10}<x_1,x_2,\dots x_9$$

Для примера покажем это на примере $x_{10}<x_1$:

$$-\frac{1}{0.2}<-\frac{1}{9.2}$$

$$\frac{1}{9.2}<\frac{1}{0.2}$$

$$0.2<9.2$$

Этим же способом доказываются все остальные случаи.

При $n>10$ члены последовательности $x_n$ будут строго положительными, поэтому

$$\inf x_n=x_{10}=-\frac{1}{0.2}=-\frac{10}{2}=-5$$

Рассмотри подпоследовательность, которая начинается с $11$ элемента исходной последовательности:

$$x_{10+n}=\frac{1}{10+n-10.2}=\frac{1}{n-0.2}$$

Так как $n$ — натуральное число, то

$$n\ge 1$$

Вычтем из обеих сторон $0.2$:

$$n-0.2\ge 0.8$$

«Перевернем» дроби:

$$\frac{1}{n-0.2}\le \frac{1}{0.8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$$

$$\frac{1}{n-0.2}\le \frac{5}{4}$$

Но $x_{10+1}=x_{11}=\frac{5}{4}$, поэтому

$$\frac{1}{n-0.2}\le x_{11}$$

Значит $x_{11}$ — наибольший член подпоследовательности $x_{10+n}$, а также больше первых $10$ отрицательных членов. Значит, $x_{11}$ — наибольший член последовательности $x_n$:

$$\sup x_n=x_{11}=\frac{5}{4}$$

Найдем предел последовательности

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n-10.2}$$

По прото-задаче П-ссылка мы можем отбросить первые $10$ членов последовательности $x_n$ и искать предел

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n-0.2}$$

«Зажем» эту последовательность между

$$0\le \frac{1}{n-0.2}\le \frac{1}{n}$$

«Последовательность» из $0$ стремится к $0$. Последовательность $\frac{1}{n}$ тоже стремится к $0$ (см. прото-задачу П-ссылка). А значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность $\frac{1}{n-0.2}$ стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n-0.2}=0$$

Раз у исходной последовательности $x_n$ есть предел $0$, то $0$ — единственная предельная точка $x_n$ (см. прото-задачу П-ссылка), поэтому

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=0$$