Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 112
Нормальная
Найти и , если:

Ответ

Зависимость
Указание

Докажите следующее неравенство:

Воспользуйтесь задачей 69.

Решение

Докажем следующее неравенство

Сначала докажем, что

Если — нечетное, то есть , тогда

В задаче 69 мы показали, что

Если — четное, то есть , то, согласно неравенству выше

Итак, при любых (четных и нечетных) выполняется неравенство:

По определению синуса:

Сложим оба неравенства выше и получаем, что


Теперь докажем, что

Пусть — четное, то есть , тогда

Складываем последние два неравенства и получаем, что при четных

Вновь воспользуемся неравенством из задачи 69 при условии, что — нечетное, то есть :

Уножим неравенство на :

Теперь разберемся с синусом:

Сложим неравенства выше:

Итак, мы показали, что при любых (четных и нечетных) выполняется неравенство:


Итак, мы показали, что — нижняя граница последовательности , и что — верхняя граница.

Теперь найдем предел следующей подпоследовательности:

Выше мы использовали то, что

А значит, по прото-задаче П-ссылка, любая подпоследовательность тоже стремится к , то есть

Итак, мы показали, что

и — верхняя граница , то по прото-задаче П-ссылка:

Найдем предел следующей подпоследовательности:

Итак, мы показали, что

и — нижняя граница , то по прото-задаче «Точные грани и предельные точки»