Демидович
112

Найти и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите следующее неравенство:

Воспользуйтесь задачей 69.

Решение

Докажем следующее неравенство

Сначала докажем, что

Если — нечетное, то есть , тогда

В задаче 69 мы показали, что

Если — четное, то есть , то, согласно неравенству выше

Итак, при любых (четных и нечетных) выполняется неравенство:

По определению синуса:

Сложим оба неравенства выше и получаем, что


Теперь докажем, что

Пусть — четное, то есть , тогда

Складываем последние два неравенства и получаем, что при четных

Вновь воспользуемся неравенством из задачи 69 при условии, что — нечетное, то есть :

Уножим неравенство на :

Теперь разберемся с синусом:

Сложим неравенства выше:

Итак, мы показали, что при любых (четных и нечетных) выполняется неравенство:


Итак, мы показали, что — нижняя граница последовательности , и что — верхняя граница.

Теперь найдем предел следующей подпоследовательности:

Выше мы использовали то, что

А значит, по прото-задаче П.19, любая подпоследовательность тоже стремится к , то есть

Итак, мы показали, что

и — верхняя граница , то по прото-задаче П.17:

Найдем предел следующей подпоследовательности:

Итак, мы показали, что

и — нижняя граница , то по прото-задаче "Точные грани и предельные точки"

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Точные грани и предельные точки
Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.