Убывание $y_n$

$$y_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}$$

Покажем, что эта последовательность убывает, то есть

$$y_n>y_{n+1}$$

$$\frac{y_n}{y_{n+1}}>1$$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}}{{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+2}}>1 \\ \frac{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}}{{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}>1 \\ {\left(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n+1}}\right)}^{n+1}>\frac{n+2}{n+1} \\ {\left(\frac{(n+1{)}^2}{n(n+2)}\right)}^{n+1}>\frac{n+2}{n+1} \\ {\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\right)}^{n+1}>\frac{n+2}{n+1} \\ {\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)}^{n+1}>\frac{n+2}{n+1} \end{gathered}$$

Для левой части воспользуемся неравенством Бернулли, которое доказывается в задаче 7:

$${\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)}^{n+1}\ge 1+\frac{n+1}{n(n+2)}$$

Продолжаем преобразования:

$$\begin{array}{rl}1+\frac{n+1}{n(n+2)}& >\frac{n+2}{n+1}\\ \frac{n(n+2)+(n+1)}{n(n+2)}& >\frac{n+2}{n+1}\\ n(n+1)(n+2)+(n+1{)}^2& >n(n+2{)}^2\\ n(n^2+3n+2)+(n^2+2n+1)& >n(n^2+4n+4)\\ n^3+4n^2+4n+1& >n^3+4n^2+4n\\ 1>0& \end{array}$$

Последнее неравенство очевидно выполняется. Мы доказали, что

$$y_n>y_{n+1}$$

Это значит, что последовательность $y_n$ убывает.

Сходимость $y_n$

Все члены последовательности $y_n$ положительные, а значит, она ограничена снизу $0$.

Итак, $y_n$ убывает, но ограничена снизу. Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Значит и $y_n$ имеет предел.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=Y$$

Возрастание $x_n$

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$$

Покажем, что эта последовательность возрастает, то есть

$$x_{n+1}>x_n$$

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}>1$$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}}{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}>1 \\ \frac{{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^n\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}>1 \\ {\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)}^n>\frac{n+1}{n+2} \\ {\left(\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}\right)}^n>\frac{n+1}{n+2} \\ {\left(\frac{n^2+2n+1-1}{n^2+2n+1}\right)}^n>\frac{n+1}{n+2} \\ {\left(1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\right)}^n>\frac{n+1}{n+2} \end{gathered}$$

Так как

$$-\frac{1}{(n+1{)}^2}>-1,$$

то мы можем воспользоваться неравенством Бернулли:

$${\left(1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\right)}^n\ge 1-\frac{n}{(n+1{)}^2}$$

Продолжаем преобразования:

$$\begin{array}{rl}1-\frac{n}{(n+1{)}^2}& >\frac{n+1}{n+2}\\ \frac{(n+1{)}^2-n}{(n+1{)}^2}& >\frac{n+1}{n+2}\\ (n^2+n+1)(n+2)& >(n+1{)}^3\\ n^3+3n^2+3n+2& >n^3+3n^2+3n+1\\ 2& >1\end{array}$$

Последнее неравенство очевидно верно. Мы доказали, что

$$x_{n+1}>x_n$$

Это значит, что последовательность $x_n$ возрастает.

Сходимость $x_n$

Докажем, что $x_n<y_n$:

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$$

$$1<1+\frac{1}{n}$$

$$0<\frac{1}{n}$$

Итак, любой член $x_n$ ограничен сверху $y_n$.

В качестве общей границы возьмем $y_1$

$$y_1={\left(1+\frac{1}{1}\right)}^2=4$$

Получили верхнюю границу для $x_n$:

$$x_n<4$$

Итак, $x_n$ возрастает, но ограничена сверху числом $4$. Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Значит и $x_n$ имеет предел.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=X$$

Одинаковость пределов $x_n$ и $y_n$

Найдем предел отношения $y_n$ и $x_n$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n}{x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }1+\frac{1}{n}= \\ =1+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=1+0=1 \end{gathered}$$

Мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n}{x_n}=1$$

Но $x_n$ и $y_n$ сходятся, причем предел $x_n>0$, поэтому можно воспользоваться правилом разделения пределов в дробях:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n}{x_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n}=\frac{Y}{X}=1$$

Получается, что

$$\frac{Y}{X}=1$$

$$Y=X$$

Доказали, что пределы $x_n$ и $y_n$ совпадают. Их общий предел и называют числом $e$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=e$$