Из определения $\sin$:

$$\left|\sin \frac{n\pi }{4}\right|\le 1$$

Возведем это неравенство в квадрат по пункту 3 прото-задачи П-ссылка:

$${\sin }^2\frac{n\pi }{4}\le 1$$

Домножим обе части неравенства на положительное число $\frac{n}{n+1}$:

$$\frac{n}{n+1}{\sin }^2\frac{n\pi }{4}\le \frac{n}{n+1}$$

Но $\frac{n}{n+1}$ — правильная дробь, поэтому

$$\frac{n}{n+1}{\sin }^2\frac{n\pi }{4}\le \frac{n}{n+1}<1$$

$$\frac{n}{n+1}{\sin }^2\frac{n\pi }{4}<1$$

Итак, мы показали, что $1$ — верхняя граница последовательности $x_n$.

Рассмотрим предел подпоследовательности

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{8n-2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n-2}{8n-1}{\sin }^2\frac{(8n-2)\pi }{4}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n-1-1}{8n-1}\underset{n\to \infty }{\lim }{\sin }^2\frac{(8n-2)\pi }{4}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{8n-1}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\sin }^2\left(2\pi n-\frac{2\pi }{4}\right)= \\ =\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{8n-1}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\sin }^2-\frac{2\pi }{4}=(1-0)(-1{)}^2=1 \end{gathered}$$

Выше мы использовали то, что $\frac{1}{8n-1}\to 0$. Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между $0\to 0$ и $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка):

$$0\le \frac{1}{8n-1}\le \frac{1}{n}$$

Итак, мы показали что $1$ — верхняя граница последовательности $x_n$, а также

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{8n-2}=1$$

По прото-задаче П-ссылка это означает, что

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$

Квадрат любого числа не может быть отрицательным числом, поэтому

$$0\le {\sin }^2\frac{\pi n}{4}$$

Обе части умножим на положительное число $\frac{n}{n+1}$:

$$0\le \frac{n}{n+1}{\sin }^2\frac{\pi n}{4}$$

Итак $0$ — нижняя граница последовательности $x_n$.

Рассмотрим предел подпоследовательности

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{8n-4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n-4}{8n-3}{\sin }^2\frac{(8n-4)\pi }{4}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n-3-1}{8n-3}\underset{n\to \infty }{\lim }{\sin }^2\frac{(8n-4)\pi }{4}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{8n-3}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\sin }^2\left(2\pi n-\pi \right)= \\ =\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{8n-3}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\sin }^2-\pi =(1-0)(0{)}^2=0 \end{gathered}$$

Выше мы использовали то, что $\frac{1}{8n-3}\to 0$. Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между $0\to 0$ и $\frac{1}{n}\to 0$:

$$0\le \frac{1}{8n-3}\le \frac{1}{n}$$

Итак, мы показали что $0$ — нижняя граница последовательности $x_n$, а также

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{8n-4}=0$$

По прото-задаче П-ссылка это означает, что

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=0$$