Демидович
113

Найти и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Из определения :

Возведем это неравенство в квадрат по пункту 3 прото-задачи П.5:

Домножим обе части неравенства на положительное число :

Но — правильная дробь, поэтому

Итак, мы показали, что — верхняя граница последовательности .

Рассмотрим предел подпоследовательности

Выше мы использовали то, что . Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между и (см. прото-задачу П.10):

Итак, мы показали что — верхняя граница последовательности , а также

По прото-задаче П.17 это означает, что


Квадрат любого числа не может быть отрицательным числом, поэтому

Обе части умножим на положительное число :

Итак — нижняя граница последовательности .

Рассмотрим предел подпоследовательности

Выше мы использовали то, что . Это легко показать по теореме о двух милиционерах, зажав эту последовательность между и :

Итак, мы показали что — нижняя граница последовательности , а также

По прото-задаче П.17 это означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Точные грани и предельные точки
Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.