Будем рассмотривать две подпоследовательности для четных и нечетных $n$.

Четные $n$

$$x_{2n}={\left(1+2^{2n}\right)}^{\frac{1}{2n}}$$

Внутри скобок вынесем за скобки $2^{2n}$

$$x_{2n}={\left(2^{2n}\right)}^{\frac{1}{2n}}{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}=2{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}$$

$$x_{2n}=2{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}$$

Найдем предел этой подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }2{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}=2\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}$$

Докажем неравенство:

$${\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}<1+\frac{1}{2^{2n}}$$

Поделим обе части на $1+\frac{1}{2^{2n}}$:

$${\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}-1}<{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^0$$

Перейдем к сравнению показателей:

$$\frac{1}{2^{2n}}-1<0$$

$$1<2^{2n}$$

Это неравенство выполняется при любом натуральном $n$.

Итак, мы доказали, что

$${\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}<1+\frac{1}{2^{2n}}$$

В то же время

$$1<{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}$$

Это неравенство верно, потому что в скобках число строго больше $1$, а корень натуральной степени из числа, большего $1$ всегда больше $1$.

Итак, теперь мы можем "зажать" нашу последовательность:

$$1<{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}<1+\frac{1}{2^{2n}}$$

Найдем предел последовательности справа:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }1+\frac{1}{2^{2n}}=1+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^{2n}}=1+0=1$$

То, что $\frac{1}{2^{2n}}\to 0$ легко показывается по теореме о двух милиционерах, при "зажатии" ее между $0\to 0$ и $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П.10).

Итак, в цепном неравенстве

$$1<{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}<1+\frac{1}{2^{2n}}$$

"последовательность" из $1$ стремится к $1$. Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится $1$. Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к $1$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}=1$$

Возвращаемся к пределу подпоследовательности $x_{2n}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=2\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}=2\cdot 1=2$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=2$$

Мы нашли первую предельную точку $x_n$.

Нечетные $n$

$$x_{2n-1}={\left(1+\frac{1}{2^{2n-1}}\right)}^{\frac{1}{2n-1}}$$

Найдем предел этой подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{2^{2n-1}}\right)}^{\frac{1}{2n-1}}$$

Алгоритм действий такой же, что и в случае четных $n$. "Зажимаем" последовательность:

$$1<{\left(1+\frac{1}{2^{2n-1}}\right)}^{\frac{1}{2n-1}}<1+\frac{1}{2^{2n-1}}$$

"Последовательность" из $1$ стремится к $1$. Последовательность справа, тоже стремится $1$. Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к $1$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{2^{2n-1}}\right)}^{\frac{1}{2n-1}}=1$$

Мы нашли вторую предельную точку $x_n$.

Итак, любой член $x_n$ лежит либо в подпоследовательности $x_{2n}$, либо в $x_{2n-1}$. Причем обе подпоследовательности имеют предел. По прото-задаче П.22 это значит, что других предельных точек у $x_n$ нет.

Поэтому

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=2$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$