Демидович
114

Найти и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Рассмотрите значения последовательности при четных и нечетных .

Решение

Будем рассмотривать две подпоследовательности для четных и нечетных .

Четные

Внутри скобок вынесем за скобки

Найдем предел этой подпоследовательности:

Докажем неравенство:

Поделим обе части на :

Перейдем к сравнению показателей:

Это неравенство выполняется при любом натуральном .

Итак, мы доказали, что

В то же время

Это неравенство верно, потому что в скобках число строго больше , а корень натуральной степени из числа, большего всегда больше .

Итак, теперь мы можем "зажать" нашу последовательность:

Найдем предел последовательности справа:

То, что легко показывается по теореме о двух милиционерах, при "зажатии" ее между и (см. прото-задачу П.10).

Итак, в цепном неравенстве

"последовательность" из стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится . Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Возвращаемся к пределу подпоследовательности :

Мы нашли первую предельную точку .

Нечетные

Найдем предел этой подпоследовательности:

Алгоритм действий такой же, что и в случае четных . "Зажимаем" последовательность:

"Последовательность" из стремится к . Последовательность справа, тоже стремится . Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Мы нашли вторую предельную точку .


Итак, любой член лежит либо в подпоследовательности , либо в . Причем обе подпоследовательности имеют предел. По прото-задаче П.22 это значит, что других предельных точек у нет.

Поэтому

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.