Найти и , если:
Рассмотрите значения последовательности при четных и нечетных .
Будем рассмотривать две подпоследовательности для четных и нечетных .
Четные
Внутри скобок вынесем за скобки
Найдем предел этой подпоследовательности:
Докажем неравенство:
Поделим обе части на :
Перейдем к сравнению показателей:
Это неравенство выполняется при любом натуральном .
Итак, мы доказали, что
В то же время
Это неравенство верно, потому что в скобках число строго больше , а корень натуральной степени из числа, большего всегда больше .
Итак, теперь мы можем "зажать" нашу последовательность:
Найдем предел последовательности справа:
То, что легко показывается по теореме о двух милиционерах, при "зажатии" ее между и (см. прото-задачу П.10).
Итак, в цепном неравенстве
"последовательность" из стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится . Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :
Возвращаемся к пределу подпоследовательности :
Мы нашли первую предельную точку .
Нечетные
Найдем предел этой подпоследовательности:
Алгоритм действий такой же, что и в случае четных . "Зажимаем" последовательность:
"Последовательность" из стремится к . Последовательность справа, тоже стремится . Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :
Мы нашли вторую предельную точку .
Итак, любой член лежит либо в подпоследовательности , либо в . Причем обе подпоследовательности имеют предел. По прото-задаче П.22 это значит, что других предельных точек у нет.
Поэтому