Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 114
Нормальная
Найти и , если:

Ответ

Указание

Рассмотрите значения последовательности при четных и нечетных .

Решение

Будем рассмотривать две подпоследовательности для четных и нечетных .

Четные

Внутри скобок вынесем за скобки

Найдем предел этой подпоследовательности:

Докажем неравенство:

Поделим обе части на :

Перейдем к сравнению показателей:

Это неравенство выполняется при любом натуральном .

Итак, мы доказали, что

В то же время

Это неравенство верно, потому что в скобках число строго больше , а корень натуральной степени из числа, большего всегда больше .

Итак, теперь мы можем «зажать» нашу последовательность:

Найдем предел последовательности справа:

То, что легко показывается по теореме о двух милиционерах, при «зажатии» ее между и (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, в цепном неравенстве

«последовательность» из стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится . Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к :

Возвращаемся к пределу подпоследовательности :

Мы нашли первую предельную точку .

Нечетные

Найдем предел этой подпоследовательности:

Алгоритм действий такой же, что и в случае четных . «Зажимаем» последовательность:

«Последовательность» из стремится к . Последовательность справа, тоже стремится . Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к :

Мы нашли вторую предельную точку .


Итак, любой член лежит либо в подпоследовательности , либо в . Причем обе подпоследовательности имеют предел. По прото-задаче П-ссылка это значит, что других предельных точек у нет.

Поэтому