Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 127
Нормальная

Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

Привести соответствующие примеры.

Зависимость
Решение

Пункт а)

Раз сходится, то, согласно задаче 93, она ограничена:

Распишем по определению расходимости :

Итак, докажем, что расходится. Запишем по определению, что нужно доказать:

С помощью свойства модуля усилим неравенство в конце:

Доказательство свойства модуля

Итак, докажем, что

Если справа получается отрицательное число, то неравенство автоматически выполняется, так как слева, по определению модуля, число всегда неотрицательное.

Если справа положительное число, то возведем обе части неравенства в квадрат по прото-задаче П-ссылка:

Если , то и, сокращая обе части на , получаем очевидно верное неравенство . Если , то и получаем очевидное равенство

Но мы знаем, что ограничена, а значит , поэтому мы можем еще больше усилить неравенство:

Итак, показав верность неравенства мы автоматом по цепному неравенству покажем верность .

Но — положительное число, а так как расходится, то, как мы показали выше, для найдется такое , что для любого будет выполняться .

Итак,

Мы по определению доказали, что расходится, то есть

Пункт б)

Может как сходиться:

Так и расходиться: