Демидович
127

Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

Привести соответствующие примеры.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Пункт а)

Раз сходится, то, согласно задаче 93, она ограничена:

Распишем по определению расходимости :

Итак, докажем, что расходится. Запишем по определению, что нужно доказать:

С помощью свойства модуля усилим неравенство в конце:

Доказательство свойства модуля

Итак, докажем, что

Если справа получается отрицательное число, то неравенство автоматически выполняется, так как слева, по определению модуля, число всегда неотрицательное.

Если справа положительное число, то возведем обе части неравенства в квадрат по прото-задаче П.5:

Если , то и, сокращая обе части на , получаем очевидно верное неравенство . Если , то и получаем очевидное равенство

Но мы знаем, что ограничена, а значит , поэтому мы можем еще больше усилить неравенство:

Итак, показав верность неравенства мы автоматом по цепному неравенству покажем верность .

Но — положительное число, а так как расходится, то, как мы показали выше, для найдется такое , что для любого будет выполняться .

Итак,

Мы по определению доказали, что расходится, то есть

Пункт б)

Может как сходиться:

Так и расходиться:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.