Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:
Привести соответствующие примеры.
Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:
Привести соответствующие примеры.
Раз сходится, то, согласно задаче 93, она ограничена:
Распишем по определению расходимости :
Итак, докажем, что расходится. Запишем по определению, что нужно доказать:
С помощью свойства модуля усилим неравенство в конце:
Итак, докажем, что
Если справа получается отрицательное число, то неравенство автоматически выполняется, так как слева, по определению модуля, число всегда неотрицательное.
Если справа положительное число, то возведем обе части неравенства в квадрат по прото-задаче П.5:
Если , то и, сокращая обе части на , получаем очевидно верное неравенство . Если , то и получаем очевидное равенство
Но мы знаем, что ограничена, а значит , поэтому мы можем еще больше усилить неравенство:
Итак, показав верность неравенства мы автоматом по цепному неравенству покажем верность .
Но — положительное число, а так как расходится, то, как мы показали выше, для найдется такое , что для любого будет выполняться .
Итак,
Мы по определению доказали, что расходится, то есть
Может как сходиться:
Так и расходиться: