Пункт а)

$$x_n+y_n$$

Может как сходиться:

$$x_n=n,y_n=-n$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+y_n=\underset{n\to \infty }{\lim }n-n=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+y_n=0$$

Так и расходиться:

$$x_n=n,y_n=n$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+y_n=\underset{n\to \infty }{\lim }n+n=\underset{n\to \infty }{\lim }2n=+\infty$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+y_n=+\infty$$

Пункт б)

$$x_n{y}_n$$

Может сходиться:

$$\begin{gathered} x_n=0,1,0,1,\dots =\frac{1+(-1{)}^n}{2} \\ {y}_n=1,0,1,0,\dots =\frac{1-(-1{)}^n}{2} \end{gathered}$$

У каждой из этих последовательностей есть два разных частичных предела (для четных и нечетных номеров), а значит они расходятся, так как у сходящейся последовательности не может быть больше одной предельной точки (см. прото-задачу П-ссылка).

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1+(-1{)}^n)(1-(-1{)}^n)}{4}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2-{\left((-1{)}^2\right)}^n}{4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2-1^n}{4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{0}{4}=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0 \end{gathered}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$$

Может расходиться:

$$x_n=n,y_n=n$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot n=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2=+\infty$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=+\infty$$