Пример того, что не $0$

Пусть

$$x_n=\frac{1}{n},\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$$

То, что $\frac{1}{n}\to 0$ доказано в прото-задаче П-ссылка.

Пусть также

$$y_n=n$$

Рассмотрим предел произведения этих последовательностей:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}n=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=1$$

Пример того, что $0$

Пусть

$$x_n=y_n=0$$

Тогда

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }0\cdot 0=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$$

Итак, нельзя утверждать, что из $x_n\to 0$ и какой-то $y_n$ всегда следует, что $x_n{y}_n\to 0$.