Итак, в условии нам дана последовательность

$$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$

Запишем включим в корень $n$-ой степени числитель:

$$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}$$

Обозначим последовательность под корнем за $y_n$:

$$y_n=\frac{n^n}{n!}$$

Покажем, что $\frac{y_{n+1}}{y_n}$ сходится к числу $e$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_{n+1}}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{(n+1{)}^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^n(n+1)}{n!(n+1)}\frac{n!}{n^n}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e \end{gathered}$$

Итак, мы показали, что последовательность $\frac{y_{n+1}}{y_n}$ сходится к $e$. По задаче 141 к тому же числу сходится и последовательность $\sqrt[n]{y_n}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_{n+1}}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$$

$■$