Среднее арифметическое/геометрическое

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится, то последовательность средних арифметических

$${\xi }_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)(n=1,2,\dots )$$

также сходится и

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n.$$

Обратное утверждение неверно: построить пример.

Доказать, что если

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty ,$$

то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=+\infty$$

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится и $x_n>0$, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$

Доказать, что если $x_n>0(n=1,2,\dots )$, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n},$$

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n}!}=e$.