Задача 18 — Демидович

Для второго случая введите два множества $A$ и $A^{'}$ . К $A^{'}$ отнесите все верхние границы $X$ , а к $A$ — все остальные числа. Докажите, что $A / A^{'}$ — сечение на вещественных числах.

Так как $A / A^{'}$ — сечение, то по основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число $β$ , которое это сечение порождает. Докажите, что $β$ является наименьшим числом в классе $A^{'}$ .

Решение

Пункт а)

$in f {- x} = - sup {x}$

Доказывать будем в обратную сторону, то есть

$- sup {x} = in f {- x}$

Нужно доказать два пункта:

$- sup {x}$ является нижней границей ${- x}$
$\forall ε > 0 \exists y^{'} \in {- x} : y^{'} < - sup {x} + ε$

Доказательство 1

Докажем, что $- sup {x}$ является нижней границей ${- x}$ , то есть

$\forall y \in {- x} : - sup {x} \leq y$

Будем доказывать от противного:

$\exists y \in {- x} : - sup {x} > y$

Умножим неравенство в конце на $- 1$ . Получаем, что

$\exists y \in {- x} : sup {x} < - y$

Так как $y \in {- x}$ , то $- y \in {x}$ (по определению множеств ${x}$ и ${- x}$ ).

Из определения $sup {x}$ :

$\forall x \in {x} : x \leq sup {x}$

Но $- y$ тоже принадлежит ${x}$ , поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:

$- y \leq sup {x}$

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

$sup {x} < - y - y \leq sup {x}$

Получается, что $sup {x}$ одновременно меньше и не меньше числа $- y$ . Противоречие.

Итак, мы показали, что

$\forall y \in {- x} : - sup {x} \leq y$

То есть, $- sup {x}$ является нижней границей множества ${- x}$ .

$■$

Доказательство 2

По определению $sup {x}$ :

$\forall ε > 0 \exists x^{'} \in {x} : x^{'} > sup {x} - ε$

Неравенство в конце умножим на $- 1$ :

$\forall ε > 0 \exists x^{'} \in {x} : - x^{'} < - sup {x} + ε$

Но если $x^{'} \in {x}$ , то $y^{'} = - x^{'}$ принадлежит ${- x}$ (по определению множеств ${x}$ и ${- x}$ ).

Поэтому верно следующее

$\forall ε > 0 \exists y^{'} \in {- x} : y^{'} < - sup {x} + ε$

$■$

Пункт б)

$sup {- x} = - in f {x}$

Доказывать будем в обратную сторону, то есть

$- in f {x} = sup {- x}$

Нужно доказать два пункта:

$- in f {x}$ является верхней границей ${- x}$
$\forall ε > 0 \exists y^{'} \in {- x} : y^{'} > - in f {x} - ε$

Доказательство 1

Докажем, что $- in f {x}$ является верхней границей ${- x}$ , то есть

$\forall y \in {- x} : y \leq - in f {x}$

Будем доказывать от противного:

$\exists y \in {- x} : y > - in f {x}$

Умножим неравенство в конце на $- 1$ :

$\exists y \in {- x} : - y < in f {x}$

Так как $y \in {- x}$ , то $- y \in {x}$ (по определению множеств ${x}$ и ${- x}$ ).

Из определения $in f {x}$ :

$\forall x \in {x} : x \geq in f {x}$

Но $- y$ тоже принадлежит ${x}$ , поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:

$- y \geq in f {x}$

Получаем два противоречащих друг другу неравенства: $in f {x} \leq - y - y < in f {x}$

Получается, что $in f {x}$ одновременно больше и не больше числа $- y$ . Противоречие.

Итак, мы показали, что

$\forall y \in {- x} : y \leq - in f {x}$

То есть, $- in f {x}$ является верхней границей множества ${- x}$ .

Доказательство 2

По определению $in f {x}$ :

$\forall ε > 0 \exists x^{'} \in {x} : x^{'} < in f {x} + ε$

Неравенство в конце умножим на $- 1$ :

$\forall ε > 0 \exists x^{'} \in {x} : - x^{'} < - in f {x} - ε$

Но если $x^{'} \in {x}$ , то $y^{'} = - x^{'}$ принадлежит ${- x}$ (по определению множеств ${x}$ и ${- x}$ ).

Поэтому верно следующее

$\forall ε > 0 \exists y^{'} \in {- x} : y^{'} < - in f {x} - ε$

$■$

17 19