Пункт а)

$$\inf \left\{-x\right\}=-\sup \left\{x\right\}$$

Доказывать будем в обратную сторону, то есть

$$-\sup \left\{x\right\}=\inf \left\{-x\right\}$$

Нужно доказать два пункта:

1. $-\sup \left\{x\right\}$ является нижней границей $\left\{-x\right\}$
2. $\forall \epsilon >0\exists y^{\prime }\in \left\{-x\right\}:y^{\prime }<-\sup \left\{x\right\}+\epsilon$

Доказательство 1

Докажем, что $-\sup \left\{x\right\}$ является нижней границей $\left\{-x\right\}$, то есть

$$\forall y\in \left\{-x\right\}:-\sup \left\{x\right\}\le y$$

Будем доказывать от противного:

$$\exists y\in \left\{-x\right\}:-\sup \left\{x\right\}>y$$

Умножим неравенство в конце на $-1$. Получаем, что

$$\exists y\in \left\{-x\right\}:\sup \left\{x\right\}<-y$$

Так как $y\in \left\{-x\right\}$, то $-y\in \left\{x\right\}$ (по определению множеств $\left\{x\right\}$ и $\left\{-x\right\}$).

Из определения $\sup \left\{x\right\}$:

$$\forall x\in \left\{x\right\}:x\le \sup \left\{x\right\}$$

Но $-y$ тоже принадлежит $\left\{x\right\}$, поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:

$$-y\le \sup \left\{x\right\}$$

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

$$\sup \left\{x\right\}<-y-y\le \sup \left\{x\right\}$$

Получается, что $\sup \left\{x\right\}$ одновременно меньше и не меньше числа $-y$. Противоречие.

Итак, мы показали, что

$$\forall y\in \left\{-x\right\}:-\sup \left\{x\right\}\le y$$

То есть, $-\sup \left\{x\right\}$ является нижней границей множества $\left\{-x\right\}$.

$■$

Доказательство 2

По определению $\sup \left\{x\right\}$:

$$\forall \epsilon >0\exists x^{\prime }\in \left\{x\right\}:x^{\prime }>\sup \left\{x\right\}-\epsilon$$

Неравенство в конце умножим на $-1$:

$$\forall \epsilon >0\exists x^{\prime }\in \left\{x\right\}:-x^{\prime }<-\sup \left\{x\right\}+\epsilon$$

Но если $x^{\prime }\in \left\{x\right\}$, то $y^{\prime }=-x^{\prime }$ принадлежит $\left\{-x\right\}$ (по определению множеств $\left\{x\right\}$ и $\left\{-x\right\}$).

Поэтому верно следующее

$$\forall \epsilon >0\exists y^{\prime }\in \left\{-x\right\}:y^{\prime }<-\sup \left\{x\right\}+\epsilon$$

$■$

Пункт б)

$$\sup \left\{-x\right\}=-\inf \left\{x\right\}$$

Доказывать будем в обратную сторону, то есть

$$-\inf \left\{x\right\}=\sup \left\{-x\right\}$$

Нужно доказать два пункта:

1. $-\inf \left\{x\right\}$ является верхней границей $\left\{-x\right\}$
2. $\forall \epsilon >0\exists y^{\prime }\in \left\{-x\right\}:y^{\prime }>-\inf \left\{x\right\}-\epsilon$

Доказательство 1

Докажем, что $-\inf \left\{x\right\}$ является верхней границей $\left\{-x\right\}$, то есть

$$\forall y\in \left\{-x\right\}:y\le -\inf \left\{x\right\}$$

Будем доказывать от противного:

$$\exists y\in \left\{-x\right\}:y>-\inf \left\{x\right\}$$

Умножим неравенство в конце на $-1$:

$$\exists y\in \left\{-x\right\}:-y<\inf \left\{x\right\}$$

Так как $y\in \left\{-x\right\}$, то $-y\in \left\{x\right\}$ (по определению множеств $\left\{x\right\}$ и $\left\{-x\right\}$).

Из определения $\inf \left\{x\right\}$:

$$\forall x\in \left\{x\right\}:x\ge \inf \left\{x\right\}$$

Но $-y$ тоже принадлежит $\left\{x\right\}$, поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:

$$-y\ge \inf \left\{x\right\}$$

Получаем два противоречащих друг другу неравенства: $$\inf \left\{x\right\}\le -y-y<\inf \left\{x\right\}$$

Получается, что $\inf \left\{x\right\}$ одновременно больше и не больше числа $-y$. Противоречие.

Итак, мы показали, что

$$\forall y\in \left\{-x\right\}:y\le -\inf \left\{x\right\}$$

То есть, $-\inf \left\{x\right\}$ является верхней границей множества $\left\{-x\right\}$.

Доказательство 2

По определению $\inf \left\{x\right\}$:

$$\forall \epsilon >0\exists x^{\prime }\in \left\{x\right\}:x^{\prime }<\inf \left\{x\right\}+\epsilon$$

Неравенство в конце умножим на $-1$:

$$\forall \epsilon >0\exists x^{\prime }\in \left\{x\right\}:-x^{\prime }<-\inf \left\{x\right\}-\epsilon$$

Но если $x^{\prime }\in \left\{x\right\}$, то $y^{\prime }=-x^{\prime }$ принадлежит $\left\{-x\right\}$ (по определению множеств $\left\{x\right\}$ и $\left\{-x\right\}$).

Поэтому верно следующее

$$\forall \epsilon >0\exists y^{\prime }\in \left\{-x\right\}:y^{\prime }<-\inf \left\{x\right\}-\epsilon$$

$■$