Демидович
18

Пусть — множество чисел, противоположных числам . Доказать, что:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказывать надо для верхней грани, так как доказательство для нижней аналогичное.

Рассмотрите два случая:

  1. У множества есть наибольший элемент
  2. У множества нет наибольшего элемента

Для первого случая докажите, что наибольший элемент и является наименьшей верхней границей. Доказывать надо от противного.

Для второго случая введите два множества и . К отнесите все верхние границы , а к — все остальные числа. Докажите, что — сечение на вещественных числах.

Так как — сечение, то по основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , которое это сечение порождает. Докажите, что является наименьшим числом в классе .

Решение

Пункт а)

Доказывать будем в обратную сторону, то есть

Нужно доказать два пункта:

  1. является нижней границей

Доказательство 1

Докажем, что является нижней границей , то есть

Будем доказывать от противного:

Умножим неравенство в конце на . Получаем, что

Так как , то (по определению множеств и ).

Из определения :

Но тоже принадлежит , поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

Получается, что одновременно меньше и не меньше числа . Противоречие.

Итак, мы показали, что

То есть, является нижней границей множества .

Доказательство 2

По определению :

Неравенство в конце умножим на :

Но если , то принадлежит (по определению множеств и ).

Поэтому верно следующее

Пункт б)

Доказывать будем в обратную сторону, то есть

Нужно доказать два пункта:

  1. является верхней границей

Доказательство 1

Докажем, что является верхней границей , то есть

Будем доказывать от противного:

Умножим неравенство в конце на :

Так как , то (по определению множеств и ).

Из определения :

Но тоже принадлежит , поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

Получается, что одновременно больше и не больше числа . Противоречие.

Итак, мы показали, что

То есть, является верхней границей множества .

Доказательство 2

По определению :

Неравенство в конце умножим на :

Но если , то принадлежит (по определению множеств и ).

Поэтому верно следующее

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!