Пусть — множество чисел, противоположных числам . Доказать, что:
Пусть — множество чисел, противоположных числам . Доказать, что:
Доказывать надо для верхней грани, так как доказательство для нижней аналогичное.
Рассмотрите два случая:
Для первого случая докажите, что наибольший элемент и является наименьшей верхней границей. Доказывать надо от противного.
Для второго случая введите два множества и . К отнесите все верхние границы , а к — все остальные числа. Докажите, что — сечение на вещественных числах.
Так как — сечение, то по основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , которое это сечение порождает. Докажите, что является наименьшим числом в классе .
Доказывать будем в обратную сторону, то есть
Нужно доказать два пункта:
Доказательство 1
Докажем, что является нижней границей , то есть
Будем доказывать от противного:
Умножим неравенство в конце на . Получаем, что
Так как , то (по определению множеств и ).
Из определения :
Но тоже принадлежит , поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:
Получаем два противоречащих друг другу неравенства:
Получается, что одновременно меньше и не меньше числа . Противоречие.
Итак, мы показали, что
То есть, является нижней границей множества .
Доказательство 2
По определению :
Неравенство в конце умножим на :
Но если , то принадлежит (по определению множеств и ).
Поэтому верно следующее
Доказывать будем в обратную сторону, то есть
Нужно доказать два пункта:
Доказательство 1
Докажем, что является верхней границей , то есть
Будем доказывать от противного:
Умножим неравенство в конце на :
Так как , то (по определению множеств и ).
Из определения :
Но тоже принадлежит , поэтому неравенство должно выполняться и для него тоже:
Получаем два противоречащих друг другу неравенства:
Получается, что одновременно больше и не больше числа . Противоречие.
Итак, мы показали, что
То есть, является верхней границей множества .
Доказательство 2
По определению :
Неравенство в конце умножим на :
Но если , то принадлежит (по определению множеств и ).
Поэтому верно следующее