По условию, $x$ удовлетворяет следующему неравенству:

$$0<x<1$$

Умножим все части неравенства на $2$:

$$0<2x<2$$

Узнаем, какие значения на этом интервале принимает функция $[2x]$:

$$\begin{gathered} 0<2x<1[2x]=0 \\ 1\le 2x<2[2x]=1 \end{gathered}$$

Первый интервал

На интервале $0<2x<1$ имеем $[2x]=0$, поэтому на этом интервале $y$ будет вычисляться по формуле $y=x$. Найдем, какие значения $y$ принимает на этом интервале. Для этого разделим все части неравенства на $2$:

$$0<x<\frac{1}{2}$$

Но так как $y=x$, то

$$0<y<\frac{1}{2}$$

Второй интервал

На интервале $1\le 2x<2$ имеем $[2x]=1$, поэтому на этом интервале $y$ будет вычисляться по формуле $y=x+1$. Найдем, какие значения $y$ принимает на этом интервале. Для этого разделим все части неравенства на $2$.

$$\frac{1}{2}\le x<1$$

Прибавим единицу ко всем частям неравенства:

$$\frac{3}{2}\le x+1<2$$

Но так как $y=x+1$, то

$$\frac{3}{2}\le y<2$$

Итог

Значения $y$, когда $x$ пробегает интервал $(0,\frac{1}{2})$:

$$0<y<\frac{1}{2}$$

Значения $y$, когда $x$ пробегает полуинтервал $[\frac{1}{2},1)$:

$$\frac{3}{2}\le y<2$$

Значит, $y$ пробегает следующие значения:

$$\{\begin{array}{l}0<y<\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}\le y<2\end{array}$$