Задача 193 — Демидович

$f (0) = 1 f (- x) = \frac{1 + x}{1 - x} f (x + 1) = \frac{- x}{2 + x} f (x) + 1 = \frac{2}{1 + x} f (\frac{1}{x}) = \frac{x - 1}{x + 1} \frac{1}{f ( x )} = \frac{1 + x}{1 - x}$

Петр Радько

Указание

Подставьте значения в скобках вместо $x$ и проведите упрощения.

Решение

$f (0) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

$f (- x) = \frac{1 - ( - x )}{1 + ( - x )} = \frac{1 + x}{1 - x}$

$f (x + 1) = \frac{1 - ( x + 1 )}{1 + ( x + 1 )} = \frac{- x}{2 + x}$

$f (x) + 1 = \frac{1 - x}{1 + x} + 1 = \frac{1 - x + 1 + x}{1 + x} = \frac{2}{1 + x}$

$f (\frac{1}{x}) = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \frac{x - 1}{x + 1}$

$\frac{1}{f ( x )} = \frac{1}{\frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{1 + x}{1 - x}$

192 194