Пункт а)

$$f(x)=x-x^2$$

---

Найдем $x$, при которых $f(x)=0$:

$$\begin{gathered} x-x^2=0 \\ x(1-x)=0 \\ {x}_1=0x_2=1 \end{gathered}$$

Итак, равенству $f(x)=0$ удовлетворяют два $x$ со значениями $0$ и $1$.

---

Найдем $x$, при которых $f(x)>0$:

$$\begin{gathered} x-x^2>0 \\ x>x^2 \end{gathered}$$

Сразу видим, что $x=0$ не подходит $0>0$, также как и любой отрицательный $x$, так как слева всегда будет отрицательное число, а справа положительное.

Пусть $x>0$. Делим обе части неравенства на $x$:

$$\begin{gathered} 1>x \\ x<1 \end{gathered}$$

Итак, неравенству $f(x)>0$ удовлетворяют $x$ из диапозона:

$$0<x<1$$

---

Найдем $x$, при которых $f(x)<0$:

$$\begin{gathered} x-x^2<0 \\ x<x^2 \end{gathered}$$

Вариант $x=0$ не подходит $0<0$.

Пусть $x>0$. Делим обе части неравенства на $x$:

$$\begin{gathered} 1<x \\ x>1 \end{gathered}$$

Пусть $x<0$. Делим обе части неравенства на $x$ с заменой знака неравенства:

$$\begin{gathered} 1>x \\ x<1 \end{gathered}$$

Итак, неравенству $f(x)<0$ удовлетворяют $x$ из диапозона:

$$1<|x|$$

Пункт б)

$$f(x)=\sin \frac{\pi }{x}$$

---

Из определения функции синуса нам известно, что она равна нулю, когда ее аргумент равен $\pi k$, где $k$ — целое число. Другими словами синус равен $0$, когда:

$$\frac{\pi }{x}=\pi k$$

Выразим $x$:

$$x=\frac{1}{k}$$

Так как в процессе преобразований мы поделили обе части равенства на $k$, то оно не может быть равно $0$.

Итак, равенству $f(x)=0$ удовлетворяют все $x$ вида:

$$x=\frac{1}{k}k\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$$

---

Из определения функции синуса нам известно, что она больше нуля, когда ее аргумент между:

• $-2\pi$ и $-\pi$
• $0$ и $\pi$
• $2\pi$ и $3\pi$
• …

Другими словами, синус положителен, когда его аргумент находится между $2k\pi$ и $(2k+1)\pi$, где $k$ — целое число. Другими словами, синус больше $0$, когда:

$$2k\pi <\frac{\pi }{x}<(2k+1)\pi$$

Поделим все части неравенства на $\pi$:

$$2k<\frac{1}{x}<2k+1$$

Пусть $k>0$. В этом случае $x$ будет положительным, поэтому можно «перевернуть дроби»:

$$\frac{1}{2k+1}<x<\frac{1}{2k}$$

Пусть $k<0$. В этом случае $x$ тоже будет отрицательным, поэтому можем «перевернуть дроби»:

$$\frac{1}{2k+1}<x<\frac{1}{2k}$$

Пусть $k=0$:

$$0<\frac{1}{x}<1$$

Разобьем это неравенство на два:

$$\{\begin{array}{l}0<\frac{1}{x}\\ \frac{1}{x}<1\end{array}$$

Первому неравенству удовлетворяют любые положительные $x$, поэтому $x>0$.

Второе неравенство (с учетом того, что $x>0$):

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}<1 \\ x>1 \end{gathered}$$

Имеем два условия, которые должны выполняться одновременно: $x>0$ и $x>1$. Будем использовать только второе, как более сильное.

Итак, неравенству $f(x)>0$ удовлетворяют следующие $x$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2k+1}<x<\frac{1}{2k}k\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}, \\ x>1 \end{gathered}$$

---

Сходным образом рассуждая, получаем, что синус отрицателен, когда его аргумент находится между $(2k+1)\pi$ и $(2k+2)\pi$. Другими словами, синус меньше $0$, когда:

$$(2k+1)\pi <\frac{\pi }{x}<(2k+2)\pi$$

Делим все части неравенства на $\pi$:

$$2k+1<\frac{1}{x}<2k+2$$

Чтобы иметь возможность «перевернуть дроби», найдем значения $k$, при которых оба выражения по краям неравенства будут $>0,<0$ и $=0$:

усть $k\ge 0$. "Переворачиваем дроби":

$$\frac{1}{2k+2}<x<\frac{1}{2k+1}$$

Пусть $k<-1$. «Переворачиваем дроби»:

$$\frac{1}{2k+2}<x<\frac{1}{2k+1}$$

Пусть $k=-1$. Подставляем это значение в неравенство:

$$-1<\frac{1}{x}<0$$

Разобьем это неравенство на два:

$$\{\begin{array}{l}-1<\frac{1}{x}\\ \frac{1}{x}<0\end{array}$$

Второму неравенству удовлетворяют любые отрицательные $x$, поэтому $x<0$.

Первое неравенство (с учетом того, что $x<0$):

$$\begin{gathered} -1<\frac{1}{x} \\ x<-1 \end{gathered}$$

Имеем два условия, которые должны выполняться одновременно: $x<0$ и $x<-1$. Будем использовать только второе, как более сильное.

Итак, неравенству $f(x)<0$ удовлетворяют следующие $x$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2k+2}<x<\frac{1}{2k+1}k\in \mathbb{Z}\setminus \left\{-1\right\}, \\ x<-1 \end{gathered}$$

Пункт в)

$$f(x)=(x+|x|)(1-x)$$

---

Найдем $x$, при которых $f(x)=0$:

$$(x+|x|)(1-x)=0$$

Достаточно найти варианты, при которых каждая скобка равна $0$:

$$x+|x|=0$$

Если $x\ge 0$, то $|x|=x$, поэтому:

$$\begin{gathered} x+x=0 \\ 2x=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Если $x<0$, то $|x|=-x$, поэтому:

$$\begin{gathered} x+(-x)=0 \\ 0=0 \end{gathered}$$

Выяснили, что левая скобка равна $0$ при любых отрицательных $x$ и при $x=0$:

$$x\le 0$$

Теперь правая скобка:

$$\begin{gathered} 1-x=0 \\ x=1 \end{gathered}$$

Итак, $f(x)=0$ при следующих $x$:

$$x\le 0\text{ и }x=1$$

---

Найдем $x$, при которых $f(x)>0$:

$$(x+|x|)(1-x)>0$$

Так как имеем произведение двух скобок, то для получения положительного значения нужно, чтобы обе скобки были либо положительными, либо обе отрицательными. При этом выше мы уже показали, что левая скобка просто не может быть отрицательной (она будет равна $0$), поэтому остается потребовать положительность только правой скобки:

$$\begin{gathered} 1-x>0 \\ x<1 \end{gathered}$$

Итак, $f(x)>0$ при $0<x<1$.

---

Найдем $x$, при которых $f(x)<0$:

$$(x+|x|)(1-x)<0$$

Так как имеем произведение двух скобок, то для получения отрицательного значения нужно, чтобы обе скобки разных знаков. При этом выше мы уже показали, что левая скобка просто не может быть отрицательной (она будет равна $0$), поэтому остается потребовать положительность левой и отрицательность правой скобок:

$$\begin{gathered} x+|x|>01-x<0 \\ x>0x>1 \end{gathered}$$

Оба условия должны выполняться, но будем использовать только второе, как более сильное.

Итак, $f(x)<0$ при $x>1$.