Поиск функции

Так как $f(0)=1$, то, заменяя $f(0)$ на соответствующую функцию:

$$\begin{gathered} a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=1 \\ c=1 \end{gathered}$$

Так как $f(-2)=0$:

$$4a-2b+c=0$$

Выше уже выяснили, что $c=1$, поэтому:

$$4a-2b+1=0$$

Так как $f(1)=5$:

$$a+b+c=5$$

Опять подставляем найденное значение для $c$:

$$a+b+1=5$$

Получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

$$\{\begin{array}{l}4a-2b+1=0\\ a+b+1=5\end{array}$$

Умножим второе уравнение на $2$ и сложим с первым:

$$\begin{gathered} 4a-2b+1+(2a+2b+2)=0+10 \\ 6a+3=10 \\ 6a=7 \\ a=\frac{7}{6} \end{gathered}$$

Подставим теперь найденное значение для $a$ во второе уравнение системы:

$$\begin{gathered} \frac{7}{6}+b+1=5 \\ b=4-\frac{7}{6} \\ b=\frac{17}{6} \end{gathered}$$

Итак, искомая функция имеет вид:

$$f(x)=\frac{7}{6}{x}^2+\frac{17}{6}x+1$$

Квадратичная интерполяция

$$f(-1)=\frac{7}{6}-\frac{17}{6}+1=-\frac{2}{3}$$

$$\begin{gathered} f(0.5)=\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{4}+\frac{17}{6}\cdot \frac{1}{2}+1= \\ =\frac{7}{24}+\frac{34}{24}+1=\frac{65}{24} \end{gathered}$$