Так как $f(0)=2$, то, заменяя $f(0)$ на соответствующую функцию:

$$\begin{gathered} a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=2 \\ d=2 \end{gathered}$$

Для оставшихся известных значений составим систему уравнений с тремя неизвестными, заменяя $d$ на найденное для него значение:

$$\{\begin{array}{l}-a+b-c+2=0\\ a+b+c+2=-3\\ 8a+4b+2c+2=5\end{array}$$

Сложим первое и второе уравнения:

$$\begin{gathered} 2b+4=-3 \\ 2b=-7 \\ b=-\frac{7}{2} \end{gathered}$$

Выразим $a$ через $c$ в первом уравнении, подставляя найденное значение для $b$:

$$\begin{gathered} -a-\frac{7}{2}-c+2=0 \\ a=-\frac{3}{2}-c \end{gathered}$$

Подставим это в третье уравнение:

$$\begin{gathered} -12-8c-14+2c+2=5 \\ -6c=29 \\ c=-\frac{29}{6} \end{gathered}$$

Теперь найдем само значение $a$ через найденное значение $c$:

$$a=-\frac{3}{2}+\frac{29}{6}=\frac{10}{3}$$

Итак, искомая функция имеет вид:

$$f(x)=\frac{10}{3}{x}^3-\frac{7}{2}{x}^2-\frac{29}{6}x+2$$