Демидович
20

Пусть есть множество всех произведений , где и , причем и . Доказать равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Написать

Решение

Докажем сначала важное свойство. Если числовое множество состоит из неотрицательных чисел, то и .

Запишем, что означает, что состоит из неотрицательных чисел:

Из этой записи по определению следует, что — нижняя граница . Если и является точной нижней границей, то все нормально. Если нет, то точная нижняя граница будет, по определению, больше .

Итак, мы доказали, что если состоит из неотрицательных чисел, то .

Точная верхняя грань не меньше любого элемента из , а потому она не меньше, чем :


Доказательство а)

Нужно доказать два пункта:

Доказательство п.1)

Докажем от противного:

То есть, существует такое произведение , которая меньше произведения инфинумов множеств и . Раз существует произведение, то существуют и составляющие его множители: и .

Из определения :

Из определения :

Уножим друг на друга оба неравенства (мы можем их умножить, так как и , как мы показали в начале решения):

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

\begin{gather*} xy \geq \inf\set{x}\inf\set{y} \[5px] xy < \inf\set{x}\inf\set{y} \end{gather*}

То есть, одновременно меньше и не меньше произведения инфинумов. Противоречие.

Значит, выполняется обратное, то есть

Доказательство п.2)

Докажем от противного:

То есть, существует такое что произвольное произведение не будет меньше произведения инфинумов, плюс . Раз мы рассматриваем произвольное произведение , то есть какие-то множители и , из которых оно состоит.

Из определения :

Так как это выражение работает для любого , то оно работает и для числа

То есть, для положительного числа выше

Из определения :

Так как это выражение работает для любого , то оно работает и для числа

То есть, для положительного числа выше

Итак, имеем два неравенства:

Умножим эти два неравенства друг на друга:

Неравенство можно усилить, отбросив последнее положительное слагаемое:

По предположению от противного,

Раз выполняется для всех сумм, то выполняется и для произведения , поэтому получаем два противоречащих друг другу неравенства:

\begin{gather*} x''y'' \geq \inf\set{x}\inf\set{y} + \varepsilon' \[5px] x''y'' < \inf\set{x}\inf\set{y} + \varepsilon' \end{gather*}

Произведение получается одновременно меньше и не меньше произведения инфинумов, плюс . Противоречение.

Значит, выполняется обратное, то есть

Итак, по пункту 1) произведение является нижней гранью множества , а по пункту 2) оно является точной нижней гранью:


Доказательство б)

Доказательство точно такое же, как и доказательство а), приведенное выше, только доказать надо следующие два пункта:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!