Задача 208 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Найти

ϕ [ϕ (x)]

ψ [ψ (x)]

ϕ [ψ (x)]

ψ [ϕ (x)]

, если:

$ϕ (x) = {0 при x ⩽ 0, x при x > 0 и ψ (x) = {0 при x ⩽ 0, - x^{2} при x > 0$

Ответ

$ϕ (ϕ (x)) = ϕ (x)$

$ψ [ψ (x)] = ϕ [ψ (x)] = 0$

$ψ [ϕ (x)] = ψ (x)$

Петр Радько

Указание

Рассмотрите отдельно значения функций $ϕ$ и $ψ$ при $x \leq 0$ и при $x > 0$ .

Решение

$ϕ [ϕ (x)]$

Пусть $x \leq 0$ . Тогда $ϕ (x) = 0$ и

$ϕ (ϕ (x)) = ϕ (0) = 0$

Поэтому

$ϕ (x) = ϕ (ϕ (x)) = 0$

Пусть $x > 0$ . Тогда $ϕ (x) = x$ и

$ϕ (ϕ (x)) = ϕ (x) = x$

Мы доказали, что для всех чисел $x$ имеем:

$ϕ [ϕ (x)] = ϕ (x)$

$ψ [ψ (x)]$

Для $x \leq 0$ значения функции $ψ (x)$ точно такие же, как и у $ϕ (x)$ , поэтому:

$ψ (x) = ψ (ψ (x)) = 0$

Пусть $x > 0$ . Тогда $ψ (x) = - x^{2}$ . То есть получаем только отрицаетльные значения. Это значит, что применяя функцию $ψ$ еще раз будем получать $0$ .

Итак, при любых $x$

$ψ [ψ (x)] = 0$

$ϕ [ψ (x)]$

Для $x \leq 0$ опять имеем:

$ϕ [ψ (x)] = 0$

Для положительных $x > 0$ имеем $ψ (x) = - x^{2}$ , то есть отрицательные значения. Применяя $ϕ$ к отрицательным значениям получаем $0$ , поэтому для любых $x$

$ϕ [ψ (x)] = 0$

$ψ [ϕ (x)]$

Для $x \leq 0$ :

$ψ (ϕ (x)) = 0$

Пусть $x > 0$ , тогда $ϕ (x) = x$ , то есть положительные значения. Применяя $ϕ$ к положительным значениям получаем $- x^{2}$ . В итоге наши результаты совпадают с самим определением функции $ψ$ , поэтому:

$ψ [ϕ (x)] = ψ (x)$

207 209