$$\varphi [\varphi (x)]=\mathrm{sgn}(\varphi (x))=\mathrm{sgn}(\mathrm{sgn}(x))=\mathrm{sgn}x$$

$$\psi [\psi (x)]=\frac{1}{\psi (x)}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x(x\ne 0)$$

$$\varphi [\psi (x)]=\mathrm{sgn}(\psi (x))=\mathrm{sgn}\left(\frac{1}{x}\right)$$

Заметим, что $x\ne 0$. Кроме того, дробь $\frac{1}{x}$ всегда имеет тот же знак, что и $x$, поэтому можем упростить:

$$\varphi [\psi (x)]=\mathrm{sgn}x(x\ne 0)$$

$$\psi [\varphi (x)]=\frac{1}{\varphi (x)}=\frac{1}{\mathrm{sgn}x}$$

Опять замечаем, что $x\ne 0$. И опять же, так как значениями $\mathrm{sgn}x$ могут быть только $1$ и $-1$, то выражение можно упростить:

$$\psi [\varphi (x)]=\mathrm{sgn}x(x\ne 0)$$