Исследование

$$f_1(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$f_2(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{1+f(x{)}^2}}=\frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}\frac{\sqrt{1+2x^2}}{\sqrt{1+x^2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$$

Закономерность заметили: при увеличении $n$ увеличивается на единицу коэффициент при $x^2$ в знаменателе.

Доказательство

Докажем, что

$$f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+n{x}^2}}$$

Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции:

Пусть $n=1$, тогда:

$$f_1(x)=f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

Индукционный переход:

Пусть равенство выполняется для какого-то натурального $k$:

$$f_k(x)=\frac{x}{\sqrt{1+k{x}^2}}$$

Рассмотрим, чему равняется $f_{k+1}(x)$:

$$\begin{gathered} f_{k+1}(x)=f(f_k(x))=\frac{f_k(x)}{\sqrt{1+f_k(x{)}^2}}= \\ =\frac{\frac{x}{\sqrt{1+k{x}^2}}}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+k{x}^2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+k{x}^2}\frac{\sqrt{1+(k+1)x^2}}{\sqrt{1+k{x}^2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+(k+1)x^2}} \end{gathered}$$

Итак:

$$f_{k+1}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+(k+1)x^2}}$$

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемая формула работает для любого натурального $n$.

$■$

---

Ответ:

$$f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+n{x}^2}}$$