Рассмотрим два произвольных $x_1$ и $x_2$ из указанного в условии промежутка, такие, что $x_2>x_1$. Нам нужно доказать, что

$$\begin{gathered} f(x_1)>f(x_2) \\ \cos x_1>\cos x_2 \\ \cos x_1-\cos x_2>0 \end{gathered}$$

Воспользуемся формулой разности косинусов:

$$-2\sin \frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_1-x_2}{2}>0$$

Делим обе части на $-2$ с перемой знака неравенства:

$$\sin \frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_1-x_2}{2}<0$$

Разберем левый множитель:

$$\sin \frac{x_1+x_2}{2}$$

По условию:

$$x_2>x_{1}0\le x_1\le \pi 0\le x_2\le \pi$$

Тогда:

$$\begin{gathered} x_2>x_1 \\ {x}_2+x_1>2x_1 \\ \frac{x_2+x_1}{2}>x_1\ge 0 \\ \frac{x_2+x_1}{2}>0 \end{gathered}$$

И:

$$\begin{gathered} x_2>x_1 \\ 2x_2>x_1+x_2 \\ \pi \ge x_2>\frac{x_1+x_2}{2} \\ \pi >\frac{x_1+x_2}{2} \end{gathered}$$

Объединяем оба полученных результата вместе:

$$0<\frac{x_1+x_2}{2}<\pi$$

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго больше $0$ на интервале от $0$ до $\pi$. Поэтому:

$$\sin \frac{x_1+x_2}{2}>0$$

Разберем правый множитель:

$$\sin \frac{x_1-x_2}{2}$$

Найдем верхню границу аргумента:

$$\begin{gathered} x_2>x_1 \\ 0>x_1-x_2 \\ \frac{x_1-x_2}{2}<0 \end{gathered}$$

Найдем нижнюю границу. Имеем

$$0\le x_1-\pi \le -x_2$$

Сложим эти два неравенства:

$$-\pi \le x_1-x_2$$

$$-\frac{\pi }{2}\le \frac{x_1-x_2}{2}$$

Объединим границы вместе:

$$-\frac{\pi }{2}\le \frac{x_1-x_2}{2}<0$$

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго меньше $0$ на полуинтервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $0$. Поэтому:

$$\sin \frac{x_1-x_2}{2}<0$$

Мы показали, что в выражении:

$$\sin \frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_1-x_2}{2}$$

Левый множитель всегда стого положительный, а правый строго отрицательный, значит

$$\sin \frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_1-x_2}{2}<0$$

А это означает, что

$$f(x_1)>f(x_2)$$

$■$