Рассмотрим два произвольных $x_1$ и $x_2$ из указанного в условии промежутка, такие, что $x_2>x_1$. Нам нужно доказать, что

$$\begin{gathered} f(x_1)>f(x_2) \\ \mathrm{ctg}{x}_1>\mathrm{ctg}{x}_2 \\ \frac{\cos x_1}{\sin x_1}>\frac{\cos x_2}{\sin x_2} \\ \frac{\cos x_1}{\sin x_1}-\frac{\cos x_2}{\sin x_2}>0 \\ \frac{\sin x_2\cos x_1-\cos x_2\sin x_1}{\sin x_1\sin x_2}>0 \end{gathered}$$

В числителе получили выражение для синуса разности:

$$\frac{\sin (x_2-x_1)}{\sin x_1\sin x_2}>0$$

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго больше $0$ на интервале от $0$ до $\pi$. Поэтому знаменатель всегда строго больше $0$. Осталось разобраться с числителем:

$$\sin (x_2-x_1)>0$$

Выпишем, в каких границах лежат $x_2$ и $x_1$:

$$0<x_2<\pi 0<x_1<pi$$

Умножим второе неравенство на $-1$:

$$0<x_2<\pi -\pi <-x_1<0$$

Сложим эти два неравенства:

$$-\pi <x_2-x_1<\pi$$

Но по условию $x_2>x_1$, то есть $x_2-x_1>0$, поэтому

$$0<x_2-x_1<\pi$$

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго больше $0$ на интервале от $0$ до $\pi$. Поэтому числитель всегда строго больше $0$.

Итак, мы доказали, что

$$\frac{\sin (x_2-x_1)}{\sin x_1\sin x_2}>0$$

А значит и

$$f(x_1)>f(x_2)$$

$■$