Демидович
219

Доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь формулой разности косинусов:

Решение

Рассмотрим два произвольных и из указанного в условии промежутка, такие, что . Нам нужно доказать, что

Воспользуемся формулой разности косинусов:

Делим обе части на с перемой знака неравенства:


Разберем левый множитель:

По условию:

Тогда:

И:

Объединяем оба полученных результата вместе:

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго больше на интервале от до . Поэтому:


Разберем правый множитель:

Найдем верхню границу аргумента:

Найдем нижнюю границу. Имеем

Сложим эти два неравенства:

Объединим границы вместе:

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго меньше на полуинтервале от до . Поэтому:


Мы показали, что в выражении:

Левый множитель всегда стого положительный, а правый строго отрицательный, значит

А это означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!

Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: