Рассмотрим логарифмическую функцию:

$$f(x)={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$$

Пусть $a>1$.

Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$, такие, что $x_2>x_1$. Найдем знак неравенства:

$$\begin{gathered} f(x_2)\text{ ? }f(x_1) \\ {\log }_a{x}_2\text{ ? }{\log }_a{x}_1 \end{gathered}$$

В прото-задаче П-ссылка мы доказали, что функция монотонно возрастает ($a>1$) на всей своей области определения. Поэтому мы можем представить обе части неравенства выше как показатели степени с основанием $a$:

$$\begin{gathered} \underset{=x_2}{\underbrace{a^{{\log }_a{x}_2}}}\text{ ? }\underset{=x_1}{\underbrace{a^{{\log }_a{x}_1}}} \\ {x}_2>x_1 \end{gathered}$$

Мы показали, что

$$f(x_2)>f(x_1)$$

То есть, логарифмическая функция монотонно возрастает при $a>1$. Аналогичным образом можно показать, при $0<a<1$ логарифмическая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Это означает, что любое неравенство вида

$$f>g$$

Можно прологарифмировать с сохранением знака неравенства, если основание логарифма больше $1$:

$${\log }_{a}f>{\log }_{a}g(a>1)$$