Демидович
222

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П.2.

Докажите, что логарифмическая функция монотонна на всей своей области определения.

Решение

Рассмотрим логарифмическую функцию:

Пусть .

Возьмем произвольные и , такие, что . Найдем знак неравенства:

В прото-задаче П.2 мы доказали, что функция монотонно возрастает () на всей своей области определения. Поэтому мы можем представить обе части неравенства выше как показатели степени с основанием :

Мы показали, что

То есть, логарифмическая функция монотонно возрастает при . Аналогичным образом можно показать, при логарифмическая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Это означает, что любое неравенство вида

Можно прологарифмировать с сохранением знака неравенства, если основание логарифма больше :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Монотонность показательной функции
Показательная функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .

Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: