Для удобства, обозначим некоторое произвольное число за $x_0$. Это нужно, чтобы не пупаться с $x$ из условия.

Для $x_0$, по условию, выполняется неравенство:

$$\varphi (x_0)\le f(x_0)$$

Так как $f(x)$ — монотонная функция, то выполняется неравенство:

$$f[\varphi (x_0)]\le f[f(x_0)]$$

В то же время, мы можем применить неравенство из условия:

$$\varphi [\varphi (x_0)]\le f[\varphi (x_0)]$$

Итак, получили цепное неравенство:

$$\varphi [\varphi (x_0)]\le f[\varphi (x_0)]\le f[f(x_0)]$$

Опуская уже лишнее среднее звено и получаем, что

$$\varphi [\varphi (x_0)]\le f[f(x_0)]$$

Или, переходя опять к $x$:

$$\varphi [\varphi (x)]\le f[f(x)]$$

Аналогичным образом можно доказать вторую часть цепного неравенства из условия.

$■$