Демидович
235
  1. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.
  2. Функция называется антипериодической, если

Доказать, что — периодическая функция с периодом .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Пункт 1)

Докажите, что если если — период , то и тоже является периодом .

Запишите математически, что означает тот факт, что периоды двух функций соизмеримы. Через математическую запись найдите число, которое будет периодом для суммы и произведения этих функций.

Пункт 2)

Докажите, что (с учетом того, что определена в точках вида ).

Используйте определение периодической функции.

Решение

Пункт 1)

Мы будем пользоваться тем фактом, если — период , то и тоже является периодом.

Доказательство

Если , то

Если — положительное число, то:

Итак, мы уменьшили на единицу. Продолжая этот процесс, уменьшаем до и получаем, что

Это и означает, что — период .

Аналогично доказывается для отрицательного . Только нужно увеличивать на единицу до .

Итак, пусть нам даны две функции: с периодом и с периодом . По условию периоды этих двух функций соизмеримы, то есть их отношение является рациональным числом:

Умножим обе части равенства на :

Докажем, что является периодом суммы и произведения и :

Здесь мы воспользовались доказанным в начале решения фактом.

Итак, действительно является периодом суммы и произведения функций и .

Пункт 2)

Предположим, что функция определна в точках вида (это должно было быть частью условия). Докажем, что

Действительно:

Получаем, что

Откуда

Объединяя условие и только что доказанное утверждение, получаем, что:

Проверим, является ли периодом антипериодической функции :

Мы доказали, что

Это означает, что — период функции .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!