Задача 235 — Демидович

Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.
Функция $f (x)$ называется антипериодической, если

$f (x + T) \equiv - f (x) (T > 0)$

Доказать, что $f (x)$ — периодическая функция с периодом $2 T$ .

Петр Радько

Указание

Пункт 1)

Докажите, что если если $T$ — период $f (x)$ , то и $z T (z \in Z)$ тоже является периодом $f (x)$ .

Запишите математически, что означает тот факт, что периоды двух функций соизмеримы. Через математическую запись найдите число, которое будет периодом для суммы и произведения этих функций.

Пункт 2)

Докажите, что $f (x - T) = - f (x)$ (с учетом того, что $f (x)$ определена в точках вида $x - T$ ).

Используйте определение периодической функции.

Решение

Пункт 1)

Мы будем пользоваться тем фактом, если $T$ — период $f (x)$ , то и $z T (z \in Z)$ тоже является периодом.

Доказательство

Если $z = 0$ , то

$f (x \pm 0 \cdot T) = f (x \pm 0) = f (x)$

Если $z$ — положительное число, то:

$f (x \pm z T) = f (x \pm z раз (T + T + \dots + T)) = = f ([x \pm (z - 1) T] \pm T) = f (x \pm (z - 1) T)$

Итак, мы уменьшили $z$ на единицу. Продолжая этот процесс, уменьшаем $z$ до $0$ и получаем, что

$f (x \pm z T) = f (x)$

Это и означает, что $z T$ — период $f (x)$ .

Аналогично доказывается для отрицательного $z$ . Только нужно увеличивать $z$ на единицу до $0$ .

так, пусть нам даны две функции:

f (x)

с периодом

T_{f}

g (x)

с периодом

T_{g}

. По условию периоды этих двух функций соизмеримы, то есть их отношение является рациональным числом:

$\frac{T _{f}}{T _{g}} = \frac{m}{n} (m \in Z, n \in N)$

Умножим обе части равенства на $T_{g} n$ :

$T_{f} n = T_{g} m = T$

Докажем, что $T$ является периодом суммы и произведения $f (x)$ и $g (x)$ :

$f (x \pm T) + g (x \pm T) = f (x \pm T_{f} n) + g (x \pm T_{g} m) = f (x) + g (x)$

$f (x \pm T) g (x \pm T) = f (x \pm T_{f} n) g (x \pm T_{g} m) = f (x) g (x)$

Здесь мы воспользовались доказанным в начале решения фактом.

Итак, $T$ действительно является периодом суммы и произведения функций $f (x)$ и $g (x)$ .

$■$

Пункт 2)

Предположим, что функция $f (x)$ определна в точках вида $x - T$ (это должно было быть частью условия). Докажем, что

$f (x - T) = - f (x)$

Действительно:

$f (x - T + T) = {= - f (x - T) = f (x)$

Получаем, что

$- f (x - T) = f (x)$

Откуда

$f (x - T) = - f (x)$

Объединяя условие и только что доказанное утверждение, получаем, что:

$f (x \pm T) \equiv - f (x)$

Проверим, является ли $2 T$ периодом антипериодической функции $f (x)$ :

$f (x \pm 2 T) = f ([x \pm T] \pm T) = - f (x \pm T) = - (- f (x)) = f (x)$

Мы доказали, что

$f (x \pm 2 T) = f (x)$

Это означает, что $2 T$ — период функции $f (x)$ .

$■$

234 236