Возведем обе части в квадрат по прото-задаче П-ссылка:

$$||x+1|-|x-1||<1\iff |x+1|-|x-1|<1$$

Еще раз возводим в квадрат:

$$\begin{gathered} |x+1|-|x-1|<1 \\ (x+1{)}^2-2|x+1||x-1|+(x-1{)}^2<1 \end{gathered}$$

Объединим модули $|x+1|$ и $|x-1|$ в середине левой части неравенства по прото-задаче П-ссылка:

$$(x+1{)}^2-2|x^2-1|+(x-1{)}^2<1$$

$$\begin{array}{rl}2x^2+2-2|x^2-1|& <1\\ 2x^2-2|x^2-1|& <-1\\ x^2-|x^2-1|& <-\frac{1}{2}\end{array}$$

$$|x^2-1|>x^2+\frac{1}{2}$$

Разложим неравенство на два по прото-задаче П-ссылка:

$$|x^2-1|>x^2+\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}{x}^2-1>x^2+\frac{1}{2}\\ x^2-1<-x^2-\frac{1}{2}\end{array}$$

Из первого неравенства, вычтя $x^2$ из обеих частей, получаем противоречие:

$$-1>\frac{1}{2}$$

Во втором неравенстве прибавим к обеим частям $x^2$:

$$\begin{gathered} 2x^2-1<-\frac{1}{2} \\ {x}^2<\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Заметим, что по прото-задаче П-ссылка неравенство $x^2<\frac{1}{4}$ можно представить в виде

$$|x|<\frac{1}{2}$$

или (по той же прото-задаче)

$$-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$$