Демидович
3

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа справедливы следующие равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

В индукционном переходе воспользоваться равенством из задачи 1 и прибавить к равенству с обеих сторон . Преобразовать правую часть полученного равенства.

Решение

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть . Получаем:

Индукционный переход

Предположим, что доказываемое равенство выполняется для суммы кубов первых натуральных чисел:

Воспользуемся доказанным в задаче 1 равенством и заменим сумму в скобках в правой части:

К обеим частям равенства прибавляем :

Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и выносим за скобки :

В числителе правой части видим квадратный трехчлен. Заменим его по формуле квадрата суммы:

Подставим квадрат суммы обратно и вынесем показатель степени за скобки:

Дробь в скобках справа на самом деле является суммой первых натуральных чисел (задача 1):

Подставляем полученный результат обратно в доказываемое равенство:

Итак, мы из равенства для вывели равенство для . Индукционный переход доказан. Значит, равенство из условия выполняется для любых натуральных чисел.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!