Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n=1$. Получаем:

$$1^3=1^2=1$$

Индукционный переход

Предположим, что доказываемое равенство выполняется для суммы кубов первых $k$ натуральных чисел:

$$1^3+2^3+\dots +k^3=(1+2+\dots +k{)}^2$$

Воспользуемся доказанным в задаче 1 равенством и заменим сумму в скобках в правой части:

$$1^3+2^3+\dots +k^3={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2$$

К обеим частям равенства прибавляем $(k+1{)}^3$:

$$1^3+2^3+\dots +k^3+(k+1{)}^3={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2+(k+1{)}^3$$

Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и выносим за скобки $(k+1{)}^2$:

$${\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2+(k+1{)}^3=\frac{(k+1{)}^2(k^2+4k+4)}{2^2}$$

В числителе правой части видим квадратный трехчлен. Заменим его по формуле квадрата суммы:

$$k^2+4k+4=(k+2{)}^2$$

Подставим квадрат суммы обратно и вынесем показатель степени за скобки:

$$\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{2^2}={\left(\frac{(k+1)\left((k+1)+1\right)}{2}\right)}^2$$

Дробь в скобках справа на самом деле является суммой первых $k+1$ натуральных чисел (задача 1):

$${\left(\frac{(k+1)\left((k+1)+1\right)}{2}\right)}^2=(1+2+\dots +(k+1){)}^2$$

Подставляем полученный результат обратно в доказываемое равенство:

$$1^3+2^3+\dots +(k+1{)}^3=(1+2+\dots +(k+1){)}^2$$

Итак, мы из равенства для $k$ вывели равенство для $k+1$. Индукционный переход доказан. Значит, равенство из условия выполняется для любых натуральных чисел.

$■$