Задача 35 — Демидович

Масса тела $m = 12.59 г \pm 0.01 г$ , а его объем $V = 3.2 см^{3} \pm 0.2 см^{3}$ . Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объем принять средние значения.

Ответ

Плотность $ρ$ $ρ = 3.934 \pm 0.266$

Абсолютная погрешность $Δ \leq 0.266$

Относительная погрешность $δ \leq 6.8%$

Петр Радько

Указание

Составив цепные неравенства, выясните, в каких границах лежат масса $m$ , объем $V$ , а также плотность $ρ$ (их отношение).

Затем вычислите плотность с помощью средних значений из условия.

Вычислите две оценки абсолютных погрешностей (из левой и правой границ) и в качестве оценки выберите наибольшую.

Через наибольшую абсолютную погрешность вычислите оценку относительной погрешности.

Решение

Выясним, в каких границах лежит $m$ :

$12.58 \leq m \leq 12.60$

Выясним, в каких границах лежит $V$ :

$3.0 \leq V \leq 3.4$

Найдим, в каких границах лежит плотность. Максимальное значение для правой границы получится при числителе $12.60$ и знаменателе $3.0$ . Минимальное для левой — при числителе $12.58$ и знаменателе $3.4$ .

$\frac{12.58}{3.4} \leq ρ = \frac{m}{V} \leq \frac{12.60}{3.0}$

$3.7 \leq ρ \leq 4.2$

Найдем плотность тела, используя средние значения массы и объема из условия:

$\frac{12.59}{3.2} \approx 3.934$

Итак,

$3.7 \leq 3.934 \leq 4.2$

Из неравенства выше мы можем найти верхние границы для абсолютной погрешности:

$Δ_{1} = 3.934 - 3.7 Δ_{2} = 4.2 - 3.934 = 0.234 = 0.266$

Видим, что $Δ_{2} > Δ_{1}$ , поэтому реальная абсолютная погрешность будет не больше $Δ_{2}$ (худшего варианта):

$Δ \leq Δ_{2} = 0.266$

Теперь найдем верхнюю границу относительной погрешности:

$δ = \frac{Δ}{3.934} \leq \frac{Δ _{2}}{3.934} \approx 0, 06761 \approx 6.8%$

$δ \leq 6.8%$

Итак, плотность $ρ$ $ρ = 3.934 \pm 0.266$

Абсолютная погрешность $Δ \leq 0.266$

Относительная погрешность $δ \leq 6.8%$

34 36