Задача 34 — Демидович

В каких границах заключается площадь $S$ этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность $Δ$ и относительная погрешность $δ$ площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?

Ответ

Площадь $S$ лежит в границах

$9.9102 \leq S \leq 10.0902$

Абсолютная погрешность

$Δ \leq 0.0902$

Относительная погрешность

$δ \leq 0.9%$

Петр Радько

Указание

Составив цепные неравенства, выясните, в каких границах лежат переменные $x$ , $y$ , а также площадь $S$ (их произведение).

Затем вычислите среднюю площадь с помощью средних значений из условия.

Вычислите две абсолютные погрешности (для левой и правой границ) и в качестве ответа выберите наибольшую.

Через наибольшую абсолютную погрешность вычислите оценку относительной погрешности.

Решение

Выясним, в каких границах лежит $x$ :

$2.49 \leq x \leq 2.51$

Выясним, в каких границах лежит $y$ :

$3.98 \leq y \leq 4.02$

Умножим эти неравенства друг на друга:

$9.9102 \leq S = x \cdot y \leq 10.0902$

Найдем площадь прямоугольника, используя средние значения сторон из условия:

$2.50 \cdot 4.00 = 10$

Итак,

$9.9102 \leq 10 \leq 10.0902$

Из неравенства выше мы можем найти верхние границы для абсолютной погрешности:

$Δ_{1} = 10 - 9.9102 Δ_{2} = 10.0902 - 10 = 0.0898 = 0.0902$

Видим, что $Δ_{2} > Δ_{1}$ , поэтому реальная абсолютная погрешность будет не больше $Δ_{2}$ (худшего варианта):

$Δ \leq Δ_{2} = 0.0902$

Теперь найдем верхнюю границу относительной погрешности:

$δ = \frac{Δ}{10} \leq \frac{Δ _{2}}{10} = 0.00902 \approx 0.9%$

$δ \leq 0.9%$

Итак, площадь $S$ лежит в границах

$9.9102 \leq S \leq 10.0902$

Абсолютная погрешность

$Δ \leq 0.0902$

Относительная погрешность

$δ \leq 0.9%$

33 35