Выполненное измерение стороны $x$ прямоугольника с погрешностью $\Delta$ будет колебаться в пределах:

$$x-\Delta \le x\le x+\Delta$$

Выполненное измерение стороны $y$ прямоугольника с погрешностью $\Delta$ будет колебаться в пределах:

$$y-\Delta \le y\le y+\Delta$$

Перемножим эти неравенства:

$$xy-(x\Delta +y\Delta -{\Delta }^2)\le S=xy\le xy+x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2$$

В неравенстве выше видем две возможные оценки для абсолютной погрешности площади ${\Delta }_S$:

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_S& \le (x\Delta +y\Delta -{\Delta }^2)\\ {\Delta }_S& \le x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2\end{array}$$

Вторая оценка, очевидно, покрывает первую (потому что она больше), поэтому ей и будем пользоваться:

$${\Delta }_S\le x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2$$

По условию требуется, чтобы абсолютная погрешность площади ${\Delta }_S$ была меньше $0.01$:

$${\Delta }_S\le x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2<0.01$$

$$x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2<0.01$$

Из условия нам известно, что $x\le 10$ и $y\le 10$. Сложим эти два неравенства:

$$x+y\le 20$$

Домножим обе части на $\Delta$ и добавим к обеим частям ${\Delta }^2$:

$$x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2\le 20\Delta +{\Delta }^2<0.01$$

Если мы найдем такое $\Delta$, что

$$20\Delta +{\Delta }^2<0.01$$

то автоматом (по цепному неравенству) будет выполнятся и нужное нам неравенство

$$x\Delta +y\Delta +{\Delta }^2<0.01$$

Итак, разбираемся с неравенством

$$20\Delta +{\Delta }^2<0.01$$

$${\Delta }^2+20\Delta -0.01<0$$

Найдем корень из дискриминанта этого квадратного уравнения:

$$\sqrt{D}=\sqrt{400+0.04}\approx 20.001$$

Найдем корни:

$${\Delta }_1=\frac{-20+20.001}{2}=0.0005$$ $${\Delta }_2=\frac{-20-20.001}{2}=-20,0005‬‬$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то область меньше $0$ будет находится между ее корнями, то есть

$$\Delta <0.0005$$

---

Итак, чтобы определить площадь прямоугольника с точностью до $0.01{\text{ м}}^2$ надо измерить стороны $x$ и $y$ с точностью до $0.0005\text{ м}$.

$$\Delta <0.0005\text{ м}$$