Задача 385 — Демидович

Другими словами, синус в нашей формуле будет все время уменьшать значения $ln x$ . В лучшем случае, когда $sin^{2} = 1$ , значение функции будет равно $ln x$ . Более того, при $x < 1$ функция $f (x)$ будет не превышать $0$ , так как $ln x < 0$ при $x < 1$ , а квадрат синуса на знак функции не влияет.

Итак, на итервале $0 < x < ε$ функция $f (x)$ ограничена сверху либо $0$ , либо значением самого логарифма:

$f (x) \leq max (0, ln ε)$

Ограничение снизу

Найдем, при каких $x$ квадрат синуса в $f (x)$ равняется $1$ .

$sin^{2} \frac{π}{x} = 1$

Поиск таких

x

-ов

По определению синуса он равен $1$ при углах в $\frac{π}{2} + 2 πk$ . Но нам подойдет и $- 1$ , ведь в квадрате все-равно получим $1$ , поэтому:

$sin^{2} \frac{π}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{π}{x} = \frac{π}{2} + πk$

Для того, что сформировать последовательность, ограничимся только натуральными $k$ , которые обозначим за $n$ . Выразим $x$ :

$\frac{π}{x} = \frac{π}{2} + πn \frac{1}{x} = \frac{1 + 2 n}{2} x = \frac{2}{1 + 2 n}$

x_{n} = \frac{2}{1 + 2 n} n \in N

Получили последовательность из $x$ , причем при таких $x$ -ах получаем последовательность значений функции $f (x)$ :

$y_{n} = f (x_{n}) = ln (\frac{2}{1 + 2 n})$

Эта последовательность значений функции стремится к $- \infty$ :

$n \to \infty lim y_{n} = - \infty$

Доказательство

Сначала преобразуем саму последовательность $y_{n}$ :

$y_{n} = ln \frac{2}{1 + 2 n} = - ln \frac{1 + 2 n}{2} = - ln (\frac{1}{2} + n)$

Теперь докажем по определению, что $y_{n}$ стремится к $- \infty$ , то есть какое бы $E > 0$ мы не взяли, всегда найдется такой номер $N$ , после которого все члены $y_{n}$ будут меньше, чем $E$ :

$- ln (\frac{1}{2} + n) < E$

Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием $e$ :

$e^{- l n (\frac{1}{2} + n)} < e^{E} \frac{1}{e ^{l n (\frac{1}{2} + n)}} < e^{E} \frac{1}{\frac{1}{2} + n} < e^{E} \frac{2}{1 + 2 n} < e^{E} \frac{2}{e ^{E}} < 1 + 2 n$

$n > \frac{1}{e ^{E}} - \frac{1}{2}$

Итак, для любой наперед заданной нижней границы $E$ достаточно взять натуральное число $n$ , которое удовлетворяет неравенству выше, и тогда для всех остальных натуральных чисел $y_{n} < E$ . Это по определению и означает, что $y_{n} \to - \infty$ .

$■$

редположим, что

f (x)

ограничена снизу числом

M

на интервале

0 < x < ε

. Рассмотрим, после какого натурального

N^{'}

все члены последовательности

x_{n}

попадают в указанный интервал:

$0 < x_{N^{'}} < ε \frac{2}{1 + 2 N ^{'}} < ε$

$N^{'} > \frac{1}{ε} - \frac{1}{2}$

Кроме того, так как мы показали, что $y_{n} \to - \infty$ , то, по определению найдется такое натуральное $N^{''}$ , что для всех остальных натуральных чисел больше $N^{''}$ все члены $y_{n}$ будут меньше выбранной нами границы $M$ .

Это означает, что нам нужно взять следующее $N$ :

$N = max (N^{'}, N^{''})$

И для любого $n > N$ член последовательности $x_{n}$ одновременно будет в интервале $0 < x_{n} < ε$ и при этом $y_{n} < M$ . Получили противоречие.

Это означает, что $f (x)$ неограничена снизу в интервале $0 < x < ε$ .

$■$

384 386